Emrys Yang

环论基础

  • 环按加法构成Abel 群，对乘法封闭且满足结合律
  • 注意环的子环不一定和该环的幺元一致，但零元一定一致
  • RR 为整环，则 R[x]R[x] 也是整环，但是 Mn(R)M_n(R) 未必是整环
  • 幺环 RR 中的乘法可逆元叫做 RR 的单位，所有单位依乘法构成一个群，称为幺环 RR 的乘法群
  • ax≡1(mod  m)ax\equiv 1(\mod m) 有整数解等价于 (a,m)=1(a,m)=1，即二者互素，ax≡−1(modm)ax\equiv -1\pmod m 也是如此
  • 如果幺环 RR 满足 U(R)=R∗U(R)=R^*，则称 RR 为体，若上述 R∗R^* 是 Abel 群，则称为域
  • 若 DD 为体 KK 的真子体，如果 DD 在 KK 中正规，则 DD 被 KK 的中心所包含，该证明要分为两部分，先证明 DD 中元与 DD 外元可交换，这里要用到加法运算，也是体不同于群的一个特征，然后再证明 DD 中元之间可交换
  • 理想的和与交都为理想，体的理想只有两个平凡的理想，更一般的如果幺环的一个理想包含单位元，则该理想就等于该环本身，如果幺环的理想包含了一个可逆元，则该理想也等于该环本身
  • 注意上述一旦出现可逆，单位元的概念，都默认环为幺环
  • 在交换幺环中，(a1,⋯ ,an)={∑i=1nriai}=(a1)+⋯+(an)(a_1,\cdots,a_n)=\{\sum_{i=1}^n r_ia_i\}=(a_1)+\cdots+(a_n)
  • 设 I⊴RI\unlhd R，则 R/IR/I 依据模 II 剩余类的加法和乘法形成环，aˉ=a+I\bar{a}=a+I，该环称为 RR 依理想 II 作成的商环
  • 环的同态基本定理：设 σ\sigma 是环 RR 到 Rˉ\bar{R} 的环同态，则 Ker(σ)⊴RKer(\sigma)\unlhd R，Im(σ)≤RˉIm(\sigma)\leq \bar{R}，并且还有 R/Ker(σ)≅Im(σ)R/Ker(\sigma)\cong Im(\sigma)
  • 环的第一同构定理：设 σ\sigma 是环 RR 到 Rˉ\bar{R} 的环同态，则
    • {σ(R)的子环}={σ(S)∣Ker(σ)≤S≤R}\{\sigma(R)的子环\}=\{\sigma(S)\mid Ker(\sigma)\leq S\leq R\}
    • {σ(R)的理想}={σ(S)∣Ker(σ)≤S⊴R}\{\sigma(R)的理想\}=\{\sigma(S)\mid Ker(\sigma)\leq S\unlhd R\}
    • 从而 R/I≅σ(R)/σ(I)R/I\cong \sigma(R)/\sigma(I)
  • 环的第二同构定理：设 I⊴R,S≤RI\unlhd R,S\leq R，则
    • I∩S⊴SI\cap S\unlhd S
    • I+S≤RI+S\leq R，这里必须有其中之一为理想才成立，如果两个都是理想，则和为理想
    • S/(I∩S)≅(I+S)/IS/(I\cap S)\cong (I+S)/I
  • 环的内直和同样等价于环的外直和
  • 环 RR 的理想 I,JI,J，乘积 IJ=<{ab∣a∈I,b∈J}>={有限和∑aibi}IJ=<\{ab\mid a\in I,b\in J\}>=\{有限和\sum a_ib_i\}，容易知道 IJIJ 既是 II 的理想，又是 JJ 的理想
  • RR 的两个理想互素是指两个理想的和等于 RR，从而对于幺环而言，等价于两个理想的和包含单位元
  • 对于幺环 RR 的两个互素理想 I和JI和J，我们有 IJ+JI=I∩JIJ+JI=I\cap J，从而如果 RR 是交换幺环，那么 IJ=I∩JIJ=I\cap J
  • 幺环 RR 的理想 I,J,KI,J,K，则 II 与 J,KJ,K 均互素，等价于 II 与 JKJK 互素
  • 由上述的两个定理，我们容易证明，交换幺环的两两互素的理想 A1,⋯ ,AnA_1,\cdots,A_n，我们有 A1⋯An−1A_1\cdots A_{n-1} 与 AnA_n 互素，并且 A1⋯An=A1∩⋯∩AnA_1\cdots A_n=A_1\cap \cdots \cap A_n
  • 从而我们有如下环论形式的中国剩余定理成立：设 A1,⋯ ,AnA_1,\cdots,A_n 是幺环 RR 的两两互素的理想，则有
    • 任给 a1,⋯ ,an∈Ra_1,\cdots,a_n\in R，集合 {x∈R∣x≡ai(mod  Ai),∀ i}\{x\in R\mid x\equiv a_i(\mod A_i),\forall\,i\} 非空，并且是一个模 ∩Ai\cap A_i 的剩余类
    • R/(∩Ai)≅R/A1⊕⋯⊕R/AnR/(\cap A_i)\cong R/A_1\oplus\cdots\oplus R/A_n ，如果 RR 是交换幺环，则有 R/(A1⋯An)≅R/A1⊕⋯⊕R/AnR/(A_1\cdots A_n)\cong R/A_1\oplus\cdots\oplus R/A_n
  • 我们根据素数的定义来产生极大理想，根据素数的特征性质来产生了素理想，注意素理想和极大理想必须都是真理想
  • 交换幺环中的极大理想必然是素理想，反之不一定成立
  • 设 RR 为交换幺环，P≠RP\neq R 为 RR 的理想，则
    • P为R的素理想  ⟺  R/P为整环P 为 R的素理想\iff R/P 为整环
    • P为R的极大理想  ⟺  R/P为域P 为 R的极大理想\iff R/P 为域
    • 上述也说明了交换幺环的极大理想一定是素理想
    • 实际上对于交换幺环，如果任意 aa 满足存在 nn，使得 an=aa^n=a，则该交换幺环的所有素理想都是极大理想
    • 如果交换幺环是有限的，每个素理想也都是极大理想，这是因为有限整环等价于有限体等价于有限域
  • 设 RR 为交换幺环，a∈R,I⊴Ra\in R,I\unlhd R，并且 I∩{an∣n∈N}=∅I\cap\{a^n\mid n\in\mathbb{N}\}=\emptyset，则 A={J⊴R:I⊂J,J∩{an∣n∈N}=∅}A=\{J\unlhd R:I\subset J,J\cap \{a^n\mid n\in\mathbb{N}\}=\emptyset\} 必有极大元，
    • 若我们取 I≠RI\neq R 为 RR 的理想，则 1∉I1\notin I，于是 A={J⊴R:I⊂J,1∉J}A=\{J\unlhd R:I\subset J,1\notin J\} 有极大元，从而 RR 有极大理想 MM 包含 II
    • 我们还可以知道上述的极大元 PP 一定是素理想
    • 含非零元的交换幺环一定有极大理想和素理想，而零环没有极大理想和素理想，注意令环是交换幺环，只不过单位元和零元相等
  • 交换幺环 RR 的所有素理想的交称为环 RR 的诣零根，记为 r(R)r(R)，可以证明 r(R)r(R) 由 RR 的全体幂零元构成，正向这是由于任意理想必然包含零元导致，反向运用上述定理证明非幂零元不属于某个素理想
  • 模 mm 的剩余类环的诣零根为 nZ/mZn\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}，这里 n=rad(m)n=rad(m) 为 mm 的不同素因子之积，这里利用了交换幺环 Z/mZ\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} 的真理想形如 pZ/mZ,(p∣m)p\mathbb{Z}/m\mathbb{Z},(p\mid m)，而 pZ/mZ,(p∣m)p\mathbb{Z}/m\mathbb{Z},(p\mid m) 为素理想等价于 (Z/mZ)/(pZ/mZ)≅Z/pZ(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})/(p\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} 为整环，等价于 pp 为素数，特别注意上述交换幺环 Z/mZ\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} 的理想都形如 (p)=pZ/mZ,(p∣m)(p)=p\mathbb{Z}/m\mathbb{Z},(p\mid m)，也就是说所有理想都是一个元生成的，我们称之为主理想
  • 对于有非零元的交换幺环，其必有极大理想，设其所有极大理想的交叫做环 RR 的 JacobsonJacobson 根，记为 J(R)J(R)，则 J(R)={a∈R∣(1−ax)∈U(R),∀ x∈R}J(R)=\{a\in R\mid (1-ax)\in U(R),\forall\, x\in R\}，这里的证明要用到若幺环的理想含有可逆元则必然等于环本身，以及对于交换幺环的真理想，该环必然有极大理想包含之，而真理想等价于不含单位元的理想，注意有不可逆乘法元生成的理想一定是真理想。
  • 设 RR 为交换幺环，那么 RR 有唯一的素理想等价于商环 R/r(R)R/r(R) 是域，等价于 RR 的每个元要么是单位，要么是幂零元，注意诣灵根并不是包含于所有理想，只是包含于任意素理想
  • 在幺环中如果任意元满足 a2=aa^2=a，则该环可交换
  • 幺环中的幂零元 aa 满足 1−a1-a 是该环的单位

几类典型的交换环

  • 如果 RR 是整环，那么 RR 上的 nn 元多项式环也是整环，而且二者的乘法群一致
  • 对于交换幺环 RR，f,gf,g 为其上的一元多项式，且 gg 的首项系数是 RR 的单位，则有唯一的一对多项式 q,rq,r，使得 f=gq+r,且deg⁡r<deg⁡ff=gq+r,且 \deg r<\deg f，如果 RR 是域，则是对任意非零多项式成立
  • 整环上的一元多项式环中的 nn 次多项式在该整环上至多有 nn 个根，但是对于交换幺环不一定成立
  • 整环的乘法群的有限子群都是循环的，这是因为有限 Abel 群中 exp(G)=max⁡g∈Go(g)=o(a)exp(G)=\max_{g\in G}o(g)=o(a)，注意有限群任意元一定存在 nn，使得 xn=ex^n=e
  • 对于交换幺环 RR 上的对称多项式 f(x1,⋯ ,xn)f(x_1,\cdots,x_n)，有多项式 g(x1,⋯ ,xn)g(x_1,\cdots,x_n) 使得 f=g(σ1,⋯ ,σn)f=g(\sigma_1,\cdots,\sigma_n)，其中 σi\sigma_i 为初等对称多项式
  • 对于整环 RR，如果有映射 N:R∗→NN:R^*\to \mathbb{N}，使得对于任何 a∈R,b∈R∗a\in R,b\in R^*，都存在 q,r∈Rq,r\in R，使得 a=bq+ra=bq+r，并且 r≠0r\neq 0 时，N(r)<N(b)N(r)<N(b)，则称 RR 为 Euclid 整环
  • 整环为 Euclid 整环，域上的一元多项式环为 Euclid 整环，Gauss 复整环 Z[i]={a+bi∣a,b∈Z}\mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{Z}\} 与 Eisenstein 整数环 Z[ω]={a+bω∣a,b∈Z},ω=−1+−32\mathbb{Z}[\omega]=\{a+b\omega\mid a,b\in\mathbb{Z}\},\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2} 也是 Euclid 整环，后俩个的 N(z)=∣z∣2N(z)=|z|^2
  • 设整数 d≠0,1d\neq 0,1，且无平方因子，定义 Rd={{a+bd∣a,b∈Z}d≢1(mod4),{a+b−1+d2∣a,b∈Z}d≡1(mod4).R_d=\begin{cases}\{a+b\sqrt d\mid a,b\in\mathbb{Z}\}\quad d\not\equiv1\pmod4,\\\{a+b\frac{-1+\sqrt d}{2}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}\quad d\equiv1\pmod4.\end{cases} ，易得 RdR_d 按照复数的加乘法构成整环，且由上可知 R−1R_{-1} 和 R−3R_{-3} 均为 Euclid 整环
    • 我们有当 d<0d<0 且 RdR_d 为 Euclid 整环，则 d∈{−1,−2,−3,−7,−11}d\in \{-1,-2,-3,-7,-11\}
    • 对于 α=r+sd∈Rd∗\alpha=r+s\sqrt d\in R_d^*，其中 r,s∈Qr,s\in \mathbb{Q}，定义 N(α)=∣r2−ds2∣N(\alpha)=|r^2-ds^2|，
      • 则 d<0d<0 时，RdR_d 按照上述 NN 形成 Euclid 整环当且仅当 d∈{−1,−2,−3,−7,−11}d\in \{-1,-2,-3,-7,-11\}
      • 而 d>0d>0 时，RdR_d 按照上述 NN 形成 Euclid 整环当且仅当 d∈{2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73}d\in \{2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73\}
      • 但是 R69R_{69} 也是 Euclid 整环，只不过映射不是上面的 NN
      • 并且其实我们有上述的 α\alpha 始终为代数整数，即储存在首一多项式 f(x)∈Z[x]f(x)\in \mathbb{Z}[x]，使得 f(α)=0f(\alpha)=0
  • 每个理想都是主理想的整环叫做主理想整环，可以证明 Euclid 整环必为主理想整环，由于任意域都可看作平凡的 Euclid 整环（带余除法的 rr 总是等于0），所以域的理想都是主理想，实际上，域只有两个平凡理想 (0),(1)(0),(1)
  • 上述的 RdR_d 在 d<0d<0 时为主理想整环当且仅当 d∈{−1,−2,−3,−7,−11,−19,−43,−67,−163}d\in\{-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163\} ,注意 R−7,R−11R_{-7},R_{-11} 是 Euclid 整环也是主理想整环
  • 如果整环 RR 上，对于 a,b∈Ra,b\in R，
    • 若有 c∈Rc\in R，使得 ac=bac=b，则称 aa 整除 bb
    • 若存在单位 uu，使得 au=bau=b，即有 (a)=(b)(a)=(b)，则称 aa 与 bb 相伴，易知这是一个等价关系
  • 对于整环 RR，非零元 pp 不是单位，如果 pp 的每个银子要么是单位要么与之相伴，则称 pp 不可约，如果任何 a,b∈Ra,b\in R，由 p∣abp\mid ab 可得 p∣ap\mid a 或 p∣bp\mid b，等价于 (p)(p) 为素理想，则称 pp 为素元
  • 整环 RR 中素元必定不可约，主理想整环中不可约元为素元，后者的证明依赖于主理想整环的所有理想都是主理想，加上不可约元的性质，得出不可约元形成的主理想是极大理想，再根据交换幺环的极大理想都是素理想得出该理想是素理想，从而得出不可约元都是素元
  • 上述说明主理想整环中素元和不可约元是等同的，主理想整环中素元生成的理想为素理想，不可约元生成的理想为极大理想，这说明主理想整环中素理想和极大理想是等同的
  • 主理想整环中 dd 为 a1,⋯ ,ana_1,\cdots,a_n 的最大公因子，等价于 (d)=(a1,⋯ ,an)=(a1)+⋯+(an)(d)=(a_1,\cdots,a_n)=(a_1)+\cdots+(a_n)，而mm 为 a1,⋯ ,ana_1,\cdots,a_n 的最小公倍元，等价于，(m)=∩(ai)(m)=\cap(a_i)
  • Z[x]\mathbb{Z}[x] 是整环但不是主理想整环，这是因为 (2,x)(2,x) 不是主理想；而其主理想 (3)(3) 是素理想但不是极大理想，因为 (3)⊂(3,x)(3)\subset (3,x)
  • 主理想整环的一个理想升链必然是有穷的
  • 主理想整环中，若 pp 为素元，则对环中任意非零元，存在唯一有限的 nn 使得 pn∣∣ap^n||a，称该 nn 为 aa 在素元 pp 上的阶，且有 ordp(ab)=ordp(a)+ordp(b)ord_p(ab)=ord_p(a)+ord_p(b)
  • 主理想整环中的唯一分解定理：设 RR 为主理想整环，集合 PP 由环的每个素元相伴等价类中各选一个代表元构成，则每个非零元 aa 可唯一表示为 uΠpe(p)u\Pi p^{e(p)}，这里 uu 为任意单位，e(p)e(p) 为自然数，且只有有限个非零
  • 由上可知，域上的一元多项式环中的首一多项式可唯一分解称首一不可约多项式的乘积
  • 设 RR 为交换幺环，则 RR 的每个理想是有限生成的等价于 RR 的任一条理想升链都是有穷的（理想升链条件）等价于 RR 的任何非空理想簇都有极大元，我们定义如果 RR 的每个理想都是有限生成的，则称 RR 为 Noether 环，易知主理想整环是特殊的 Noether 环
  • Hilbert 基定理，Noether 环上的一元或 n 元多项式环也都是 Noether 环
  • 从而有 Z[x1,⋯ ,xn]\mathbb{Z}[x_1,\cdots,x_n] 为 Noether 环，注意 Z\mathbb{Z} 为主理想整环；并且域 FF 上的 F[x1,⋯ ,xn]F[x_1,\cdots,x_n] 也是 Noether环
  • 注意上述的 RdR_d 一定是 Noether 环
  • Noether 环的每个理想 II 都有有限个素理想 P1,⋯ ,PnP_1,\cdots,P_n，使得 II 包含他们的乘积 P1⋯PnP_1\cdots P_n，这可以理解为上述主理想整环唯一分解定理的减弱版，只有包含关系，而不一定相等，例如 R−5=Z[−5]R_{-5}=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] 中 6=2×3=(1+−5)(1−−5)6=2\times 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})，具体证明采用反证法加 Noether 环的第三种等价定义
  • 若 RR 为 Noether 环，I⊴RI\unlhd R，则商环 R/IR/I 也是 Noether 环；若 RR 为交换幺环，I⊴RI\unlhd R，且 II 与 R/IR/ I 均为 Noether 环，则 RR 为 Noether 环，前者的证明环的第一同构，后者的证明主要是证明理想升链条件，先证明 nn 足够大时，In∩I=In+1∩I,且In+I=In+1+II_n\cap I=I_{n+1}\cap I,且 I_n+I=I_{n+1}+I，由此证明 In+1=InI_{n+1}=I_n
  • 注意前面我们定义的素理想和极大理想定义于交换幺环，而素元和不可约元定义于整环