Emrys Yang

群论基础

  • 半群是群等价于该半群满足可除性条件
  • 有限半群是群等价于该半群满足消去律，注意必须是有限半群
  • 复数域中全体 nn 次单位根构成的集合依数的乘法形成 nn 阶 Abel 循环群
  • 非空子集为子群等价于满足对右除法封闭，从而检验某子集是否为子群，先检验单位元存在其中，再检验右除法
  • 若 GG 为 Abel 群，则 {gt:g∈G}\{g^t:g\in G\} 为 GG 的子群
  • 若 H,KH,K 均为 GG 的子群，如果 HK=KHHK=KH，那么 HKHK 为 GG 的子群，从而如果 H,KH,K 其中之一是正规子群，那么 HKHK 为子群，如果两个都是正规子群，可以证明 HKHK 也是正规子群
  • [G:H]≥[K:H∩K][G:H]\geq [K:H\cap K] ，∣{k⋅(H∩K)∣k∈K}∣=∣{k⋅H∣k∈K}∣|\{k\cdot(H\cap K)\mid k\in K \}|=|\{k\cdot H\mid k \in K\}| ，如果 HH 在 GG 上次正规，那么有 [K:H∩K]∣[G:H][K:H\cap K]\mid [G:H]
  • Lagrange 定理表明，子群的阶必然整除群的阶，从而如果两个子群的阶互素，那么其交必然只含有单位元
  • 子群的交仍为子群，正规子群的交仍为正规子群
  • 正规子群的乘积仍为正规子群，且正规子群的乘积的模整除于正规子群的模的乘积
  • 如果 HkH_k 为 GG 的子群，那么 [G:⋂Hk]≤Π[G:Hi][G:\bigcap H_k]\leq \Pi[G:H_i]，如果是次正规子群，则为整除关系
  • KleinKlein 四元群：四个元素 a,b,c,ea,b,c,e 满足逆为自身，可交换，且任意两个非单位元乘积为剩下的一个
  • 整数加群 Z\mathbb{Z} 的子群都形如 mZm\mathbb{Z}，且易知其正规
  • 有限群内的元素的阶一定整除群的阶，从而对于一个 nn 阶群，任意元素 aa，则 an=ea^n=e
  • 若 o(a)=no(a)=n，则 o(ak)=n(n,k)o(a^k)=\frac n{(n,k)}，这还说明如果 kk 与 nn 互素，那么 <ak>=<a><a^k>=<a>
  • 循环群仍有子群，且子群仍为循环群，若循环群为 nn 阶，d∣nd|n，则有唯一的 dd 阶循环子群 <and><a^{\frac nd}>，如果不整除，易知没有该阶子群
  • 同上，如果 kk 与 nn 不互素，则 <ak><a^k> 一定等于上述某个唯一的 dd 阶子群 <and><a^{\frac nd}>
  • nn 阶循环群群的生成元有 φ(n)\varphi(n) 个
  • 循环群的 nn 阶元为 φ(n)\varphi(n) 个
  • 素数阶群必为循环群，循环群必为 Abel 群
  • Abel 群的所有子群都正规
  • 若 e∈x⋅He\in x\cdot H，则 x∈Hx\in H，即 xH=HxH=H，若任意 a,b∈Ga,b\in G，使得 (aH)(bH)=xH,x∈G(aH)(bH)=xH,x\in G，则等价于 HH 为正规子群
  • ∀ g∈G\forall\,g\in G，gHg−1≤HgHg^{-1}\leq H；⋂g∈GgHg−1\bigcap\limits_{g\in G}gHg^{-1} 在 GG 上正规，称之为 HGH_G，它是被包含于 HH 的最大正规子群
  • 设 σ:G→Gˉ\sigma:G\to \bar G 为同态，则 Ker(σ)⊴G, Im(σ)≤Gˉ, G/Ker(σ)≅Im(σ)Ker(\sigma)\unlhd G,\,Im(\sigma)\leq\bar G,\,G/ Ker(\sigma)\cong Im(\sigma)，称其为同态基本定理
  • Aut(G)≤S(G)Aut(G)\leq S(G)
  • 群 GG 的中心 Z(G)={a∈G∣ax=xa,∀ x∈G}Z(G)=\{a\in G\mid ax=xa,\forall\,x\in G\}，群 GG 的内自同构群 Inn(G)={σa∣a∈G}≤Aut(G)Inn(G)=\{\sigma_a\mid a\in G\}\leq Aut(G)，其中 σa(x)=axa−1,∀ x∈G\sigma_a(x)=axa^{-1},\forall\,x\in G ，并且根据同态基本定理，我们有 Z(G)⊴G, G/Z(G)≅Inn(G)≤Aut(G)Z(G)\unlhd G,\,G/Z(G)\cong Inn(G)\leq Aut(G)
  • 无穷循环群都与整数加群 Z\mathbb{Z} 同构，mm 阶有限循环群都同构于加法循环群 Z/mZ\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}
  • 两个群的阶相等也不一定同构
  • 循环群的自同构数量等于群中生成元的数量，在循环群中自同构等价于将生成元映射到生成元，适用于有限循环群和无限循环群

群的作用和Sylow定理

  • Stab(x)≤G,[G:Stab(x)]=∣O(x)∣Stab(x)\leq G,[G:Stab(x)]=|O(x)|，从而 O(x)O(x) 整除 ∣G∣|G|
  • Ker(X)⊴G,G\Ker(X)≅{σg=gx,x∈X∣g∈G}≤S(X)Ker(X)\unlhd G,G\backslash Ker(X)\cong \{\sigma_g=gx,x\in X\mid g\in G\}\leq S(X)，这里 σ\sigma 是 GG 到 S(X)S(X) 的映射，且 Ker(σ)=Ker(X),Im(σ)={σg=gx,x∈X∣g∈G}Ker(\sigma)=Ker(X),Im(\sigma)=\{\sigma_g=gx,x\in X\mid g\in G\}
  • 群作用于集合 XX，我们有上述的结论，于是我们可以令 XX 为 GG 本身或者为子群的陪集得到更特殊的与 GG 相关的结论：如 Z(G)⊴G, G/Z(G)≅Inn(G)≤Aut(G)Z(G)\unlhd G,\,G/ Z(G)\cong Inn(G)\leq Aut(G)，或者还有 HG⊴GH_G\unlhd G，以及 [G:HG][G:H_G] 整除于 ∣S(X)∣|S(X)|， 其中 X={xH∣x∈G},H≤GX=\{xH\mid x\in G\},H\leq G
  • 由上述 [G:HG][G:H_G] 整除于 ∣S(X)∣|S(X)| 可知，∣H∣∣HG∣\frac{|H|}{|H_G|} 整除于 ([G:H]−1)!([G:H]-1)!，如果 [G:H][G:H] 是 GG 的最小素因子，由于 ∣H∣∣HG∣\frac{|H|}{|H_G|} 整除 ∣G∣|G|，可推出 H=HGH=H_G，也就是说如果 ∣G∣=Πi=1npiri|G|=\Pi_{i=1}^n p_i^{r_i}，其中 pi−1<pip_{i-1}<p_i 均为素数，ri>0r_i>0，那么当 ∣H∣=p1r1−1⋅Πi=2npiri|H|=p_1^{r_1-1}\cdot \Pi_{i=2}^n p_i^{r_i} 时，有 H=HG⊴GH=H_G\unlhd G
  • 群 GG 作用于 XX 上的轨道数 N=1∣G∣∑g∈G∣Fix(g)∣N=\frac1{|G|}\sum\limits_{g\in G}|Fix(g)|
  • XX 中非不动点的个数 ∣X∣−∣Fix(G)∣|X|-|Fix(G)| 可表示为 GG 的大于一的因子之和，从而如果 GG 为 p-群，那么 ∣X∣≡∣Fix(G)∣(mod  p)|X|\equiv|Fix(G)|(\mod p)
  • 当 p-群 GG 作用在自身上时，Fix(G)=Ker(G)=Z(G)Fix(G)=Ker(G)=Z(G)，从而有 pp 整除 ∣Z(G)∣|Z(G)|，故 Z(G)Z(G) 必有非单位元
  • 由上可推出 p2p^2 阶群必为 Abel 群
  • [G:NG(H)]=∣{gHg−1∣g∈G}∣[G:N_G(H)]=|\{gHg^{-1}\mid g\in G\}|，NG(H)={g∈G∣gH=Hg}N_G(H)=\{g\in G\mid gH=Hg\} 为使得 HH 在其中正规的最大的 GG 的子群
  • 当 d∣nd|n 时，nn 阶循环群有唯一的 dd 阶子群
  • Cauchy 定理指出，当 pp 为素数整除 nn 时，nn 阶群存在 pp 阶子群
  • Sylow 第一定理指出，若 GG 为 nn 阶群，pp 为素数，α=ordp(n)\alpha=ord_p(n)，则 GG 存在 pαp^\alpha 阶子群，称之为 Sylow p-子群
  • 上述的两个定理表明，若 ∣G∣=Πi=1npiri|G|=\Pi_{i=1}^n p_i^{r_i}，其中 pip_i 为不同素数，则 GG 存在 pip_i 阶和 pirip_i^{r_i} 阶子群
  • Sylow 第二定理指出，如果 HH 为有限群 GG 的一个 Sylow p-子群，那么 GG 的所有 p-子群包含于某个 gHg−1gHg^{-1}，且 GG 的所有Sylow p-子群构成的集合为 {gHg−1∣g∈G}\{gHg^{-1}\mid g\in G\}，从而 HH 在 GG 中正规当且仅当 HH 是 GG 唯一的 Sylow p-子群，从而有限 Abel 群的 Sylow p- 子群是唯一的
  • Sylow 第三定理给出了 Sylow p-子群的数量估计，如果有限群 GG 的阶为 pαmp^\alpha m，pp 是素数不是 mm 的因子，设 Sylow p-子群的数量为 npn_p，如果令 HH 为 GG 的任意一个 Sylow p-子群，那么 np=∣{gHg−1∣g∈G}∣=[G:NG(H)]∣[G:H]=mn_p=|\{gHg^{-1}\mid g\in G\}|=[G:N_G(H)]\mid[G:H]=m ；且 np≡1(mod  p)n_p\equiv 1(\mod p)，这里是利用了如果 GG 为 p-群，那么 ∣X∣≡∣Fix(G)∣(mod  p)|X|\equiv|Fix(G)|(\mod p) ，让 G=HG=H 作用于 X={gHg−1∣g∈G}X=\{gHg^{-1}\mid g\in G\}
  • G=HNG(P)G=HN_G(P)，其中 HH 在 GG 上正规，PP 是 HH 的 Sylow p-子群
  • 若 PP 为有限群 GG 的 Sylow p-子群，则当 NG(P)≤H≤GN_G(P)\leq H\leq G 时，NG(H)=HN_G(H)=H
  • 设 p,qp,q 为不同素数，且 p≢1(mod  q),q≢1(mod  p)p\not\equiv1(\mod q),q\not\equiv1(\mod p)，则 pqpq 阶群都是循环群
  • p2qp^2q 阶群有 p2p^2 阶或 qq 阶正规子群
  • 没有非平凡的正规子群得到群称为单群，从而 p2qp^2q 阶群必然不是单群
  • 仅有的 Abel 单群等价于素数阶循环群，Abel 单群即没有非平凡子群的 Abel 群

群的结构

  • 同态将群映射为群
  • 如果 Ker(σ)≤H≤GKer(\sigma)\leq H\leq G，则 H≤G  ⟺  σ(H)≤σ(G)H\leq G\iff \sigma(H)\leq \sigma(G)，且有 σ(G)\sigma(G) 的子群集合为 {σ(H)∣Ker(σ)≤H≤G}\{\sigma(H)\mid Ker(\sigma)\leq H\leq G\}
  • 如果 Ker(σ)≤H≤GKer(\sigma)\leq H\leq G，则 H⊴G  ⟺  σ(H)⊴σ(G)H\unlhd G\iff \sigma(H)\unlhd \sigma(G)，且有 σ(G)\sigma(G) 的正规子群的集合为 {σ(H)∣Ker(σ)≤H⊴G}\{\sigma(H)\mid Ker(\sigma)\leq H\unlhd G\}
  • 从而如果 Ker(σ)≤H⊴GKer(\sigma)\leq H\unlhd G，我们还有 G/H≅σ(G)/σ(H)G/H\cong \sigma(G)/\sigma(H)
  • 如果设 K⊴GK\unlhd G，让上述的 σ:G→G/K,σ(g)=gK\sigma:G\to G/ K,\sigma(g)=gK，那么我们有第一同构定理：
    • {G/K的子群}\{G/ K 的子群 \} = {H/K∣K≤H≤G}\{H/ K\mid K\leq H\leq G\}
    • {G/K的正规子群}\{G/ K 的正规子群 \} = {H/K∣K≤H⊴G}\{H/ K\mid K\leq H\unlhd G\}
    • 如果 K≤H⊴GK\leq H\unlhd G，则 G/H≅(G/K)/(H/K)G/ H\cong (G/ K)/ (H/ K)
  • 如果 ∣G∣=pn|G|=p^n，那么 GG 有 pip^i 阶正规子群 HiH_i，且 H0={e}⊴H1⊴H2⋯⊴Hn=GH_0=\{e\}\unlhd H_1\unlhd H_2\cdots\unlhd H_n=G，从而可解
  • 第二同构定理：设 H⊴G,K≤GH\unlhd G,K\leq G，则
    • H∩K⊴KH\cap K\unlhd K
    • K/(H∩K)≅HK/HK/ (H\cap K)\cong HK/H
  • 若 K≤H≤G,L≤GK\leq H\leq G,L\leq G，则 K(L∩H)=KL∩HK(L\cap H)=KL\cap H
  • 若 K⊴H≤G,L≤GK\unlhd H\leq G,L\leq G，则 K∩L⊴H∩LK\cap L\unlhd H\cap L，若还有 L⊴GL\unlhd G，则 KL⊴HLKL\unlhd HL
  • 根据第二同构定理易知 ∣HK∣∣∣H∣⋅∣K∣|HK|\mid |H|\cdot |K| ，更一般的若 H,KH,K 只是子群，也有 ∣HK∣=∣H∣∣K∣∣H∩K∣|HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}
  • 次正规子群的有限交仍然次正规，次正规具有传递性，但正规没有
  • 正规群列起点为 {e}\{e\}，终点为 GG，如果两个正规群列的商群构成的集合等价，则说两个正规群列等价，如果正规群列没有异于自身的加细，则称为合成群列
  • GG 的任两个正规群列都有等价的加细
  • 设 H⊲GH\lhd G，则 HH 为 GG 的极大正规子群，当且仅当 G/HG/H 为单群，从而正规群列为合成群里额当且仅当诸商群都是单群
  • 如果 GG 合成群列，那么每个正规群列都可加细为合成群列，且 GG 的任两个合成群列等价
  • 易知有限群必有合成群列，无限群可能有也可能没有，无限可解群必然没有合成群列
  • GG 的导群 G′G' 即换位子群在GG 上正规，若G/HG/H 为 Abel 群，则 G′≤H≤GG'\leq H\leq G
  • 若 H⊴GH\unlhd G,则 H′⊴GH'\unlhd G，从而有 G(n)⊴GG^{(n)}\unlhd G，且有 (G/H)(n)=G(n)H/H(G/H)^{(n)}=G^{(n)}H/H
  • GG 可解当且仅当存在 nn，使得 G(n)=eG^{(n)}=e，从而若 GG 可解，则其子群一定可解，若 H⊴GH\unlhd G，则 G/HG/H 也可解
  • Abel 群一定可解
  • 可解单群   ⟺  \iff Abel 单群   ⟺  \iff 素数阶群
  • 若 H⊴GH\unlhd G，且 HH 与 G/HG/H 均可解，则 GG 可解
  • 可解群的合成群列的诸商群都是素数阶群，从而无限可解群必没有合成群列
  • 存在无限单群，无限单群必不可解，Abel 单群一定是素数阶的
  • 不相交的轮换可交换
  • 任意置换可以写成不相交轮换的乘积
  • 长为 ll 的轮换，可以写成 l−1l-1 个对换的乘积，(a1a2⋯al)=(a1al)⋯(a1a2)(a_1a_2\cdots a_l)=(a_1a_l)\cdots(a_1a_2)
  • sign(στ)=sign(σ)sign(τ)sign(\sigma\tau)=sign(\sigma)sign(\tau)，一个对换的逆序对个数为一
  • 偶置换等价于可以写成偶数个对换，奇置换等价于可以写称奇数个对换
  • 则 sign:Sn→C2={±1}sign:S_n\to C_2=\{\pm1\} 是满同态，同态核为 AnA_n，即偶置换构成的群，称为交错群
  • 对换的逆为本身，轮换 (a1a2⋯ak)(a_1a_2\cdots a_k) 的逆为 (ak⋯a2a1)(a_k\cdots a_2a_1)
  • (a1a2)=(a3a2)(a3a1)(a3a2)=(a3a1)(a3a2)(a3a1)(a_1a_2)=(a_3a_2)(a_3a_1)(a_3a_2)=(a_3a_1)(a_3a_2)(a_3a_1)，又因为 SnS_n 上的每个置换都可以写成对换的乘积，从而可以写成含 11 的对换的乘积，故 Sn=<(12),(13),⋯ ,(1n)>S_n=<(12),(13),\cdots,(1n)>
  • (i,i+1)=(12⋯n)(i−1,i)(12⋯n)−1(i,i+1)=(12\cdots n)(i-1,i)(12\cdots n)^{-1}，从而相邻对换可以由 (12)(12) 与 (12⋯n)(12\cdots n) 生成，而当 3≤m≤n3\leq m\leq n 时，(1m)=(m,m−1)⋯(32)(12)(23)⋯(m−1,m)(1m)=(m,m-1)\cdots(32)(12)(23)\cdots (m-1,m) 即可以写成相邻对换的乘积，从而 (1m)(1m) 可由 (12)(12) 与 (12⋯n)(12\cdots n) 生成，从而 Sn=<(12),(12⋯n)>S_n=<(12),(12\cdots n)>
  • 偶置换可以表示为偶数个含 11 的对换的乘积，奇置换可以表示为奇数个含 11 的对换的乘积
  • An=<(123),⋯ ,(12n)>A_n=<(123),\cdots,(12n)>
  • Sn/AnS_n/A_n 为 2 阶 Abel 群，从而 Sn′≤AnS_n'\leq A_n，又因为 (a1a2a3)=(a1a3a2)2(a_1a_2a_3)=(a_1a_3a_2)^2，所以 (12i)=(1i2)2=(12)(1i)(12)(1i)(12i)=(1i2)^2=(12)(1i)(12)(1i) 从而 An≤Sn′A_n\leq S_n'，故 Sn′=AnS_n'=A_n
  • 当 n=1,2,3n=1,2,3 时 ∣An∣|A_n| 为素数故为 AbelAbel 群，从而 AnA_n 可解，且 An′={(1)}A_n'=\{(1)\}
  • K={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}K=\{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\} 为 KleinKlein 四元群，可以证明 A4A_4 可解，A4′=KA_4'=K，从而 A4′′=K′={(1)}A_4''=K'=\{(1)\}
  • 当 n≥5n\geq 5 时，An′=AnA_n'=A_n，从而 AnA_n 不可解，且有更强的 AnA_n 为单群，没有非平凡的正规子群
  • 对于二阶循环群 C2={1,−1}C_2=\{1,-1\}，直积 C2×C2C_2\times C_2 同构于 KleinKlein 四元群
  • 设 GiG_i 为群 GG 的正规子群，i=1,2,⋯ ,ni=1,2,\cdots,n：下列说法等价
    • Gi∩Πj≠iGj={e}G_i\cap\Pi_{j\neq i}G_j=\{e\}
    • 任意 x∈Gx\in G，至多可用一种方式表示为 x1⋯xnx_1\cdots x_n，xi∈Gix_i\in G_i
    • ee 表示为 x1⋯xn,xi∈Gix_1\cdots x_n,x_i\in G_i 时，必有 xi=ex_i=e
  • 若 GiG_i 为 GG 的正规子群且 ΠGi=G\Pi G_i=G，且 Gi∩Πj≠iGj={e}G_i\cap\Pi_{j\neq i}G_j=\{e\}，即等价于 GG 中每个元素都可唯一地表示为 x1⋯xn,xi∈Gix_1\cdots x_n,x_i\in G_i 的形式，则称 GG 为 GiG_i 的内直积
  • 如果两个正规子群的交只有单位元，那么这两个正规子群的乘积为这个正规子群的内直积
  • 若 H⊴G,K⊴G,H∩K={e}H\unlhd G,K\unlhd G,H\cap K=\{e\}，则对 ∀ h∈H,k∈K\forall\,h\in H,k\in K，hk=khhk=kh
  • 设 GG 为正规子群 G1,⋯ ,GnG_1,\cdots,G_n 的内直积，则 GG 同构于 G1×⋯×GnG_1\times\cdots\times G_n，从而 ∣G∣=Π∣Gi∣|G|=\Pi|G_i|
  • 若 p2p^2 阶群 GG 不是循环群，则其同构于 Cp×CpC_p\times C_p；若 pqpq 阶群不是循环群，则其同构于 CP×CqC_P\times C_q
  • 不是所有的群都有内直积，但有限 Abel 群存在这样的结构分解，毕竟 Abel 群的子群都正规，更容易满足其要求
  • exp⁡(G)\exp(G) 是指使得有限群 GG 的所有元素在此幂次下都为单位元的最小正整数
  • 在有限Abel群中，若 o(a)o(a) 与 o(b)o(b) 互素，则 o(ab)=o(a)o(b)o(ab)=o(a)o(b)，并且 exp⁡(G)=max⁡g∈Go(g)\exp(G)=\max_{g\in G} o(g)，从而如果说 exp⁡(G)=∣G∣\exp(G)=|G|，则 GG 为循环群
  • 如果 n1,⋯ ,nkn_1,\cdots,n_k 为两两互素的正整数，那么 Cn1×⋯×Cnk≅Cn1⋯nkC_{n_1}\times \cdots\times C_{n_k}\cong C_{n_1\cdots n_k}
  • 有限 Abel 群一定存在内直积
    • 设 ∣G∣=Πi=1npiri|G|=\Pi_{i=1}^n p_i^{r_i} 则 GG 可以唯一分解为 nn 个唯一的 Sylow pi−Sylow\,p_i- 子群的内直积，从而 GG 同构于 G1×⋯×GnG_1\times\cdots\times G_n，GiG_i 为 Sylow p-子群
    • 设 o(a)=exp⁡(G)o(a)=\exp(G)，则存在 H≤GH\leq G，使得 GG 为 HH 和 <a><a> 的内直积
    • 存在唯一一组正整数 n1,⋯ ,nrn_1,\cdots,n_r，使其满足 n1∣n2∣⋯∣nr∣∣G∣n_1\mid n_2\mid\cdots\mid n_r\mid |G|，并且 GG 可表示为 CniC_{n_i} 的内直积，这里的 rr 称为 GG 的秩
    • 由此可知，若 a1∣a2,b1∣b2,a1a2=b1b2a_1\mid a_2,b_1\mid b_2,a_1a_2=b_1b_2，则 Ca1×Ca2C_{a_1}\times C_{a_2} 不可能同构于 Cb1×Cb2C_{b_1}\times C_{b_2}
  • 有限 Abel 群的 Sylow p-子群可以写成 {g∈G∣o(g)=pm}\{g\in G\mid o(g)=p^m\}
  • 事实上我们有，设 ∣G∣=Πi=1npiri|G|=\Pi_{i=1}^n p_i^{r_i}，我们也有唯一一组正整数
α11≤⋯≤α1l1,⋯ ,αn1≤⋯≤αnln;∑k=1liαik=ri, ∀ i=1,2,⋯ ,n\alpha_{11}\leq\cdots\leq\alpha_{1l_1},\cdots,\alpha_{n1}\leq\cdots\leq \alpha_{nl_n};\sum_{k=1}^{l_i} \alpha_{ik}=r_i,\,\forall\,i=1,2,\cdots,n

使得

G≅Cp1α11×⋯×Cp1α1l1×⋯×Cpnαn1×⋯×CpnαnlnG\cong C_{p_1^{\alpha_{11}}}\times \cdots\times C_{p_1^{\alpha_{1l_1}}}\times\cdots\times C_{p_n^{\alpha_{n1}}}\times \cdots\times C_{p_n^{\alpha_{nl_n}}}
  • 我们以 36 阶 Abel 群为例，可知
    • C22×C32C_{2^2}\times C_{3^2}
    • C2×C2×C32C_{2}\times C_2\times C_{3^2}
    • C22×C3×C3C_{2^2}\times C_3 \times C_3
    • C2×C2×C3×C3C_2\times C_2 \times C_3\times C_3
    • 上述是两两不同构的
  • 那么易知四阶群为abel群，故有且仅有两种
  • 上面分析了有限 Abel 群的结构，下面分析无限 Abel 群的结构，更特殊的，我们分析有限生成的无限 Abel 群的结构
  • Tor(G)={a∈G:o(a)有穷}Tor(G)=\{a\in G:o(a)有穷\} 称为 GG 的挠子群，若只含单位元，称 GG 为无挠的，易知无穷循环群是无挠的，故无穷循环群的直积也是无挠的
  • 有限生成的 Abel 群设其为 nn 元极小生成的，则它有 nn 个循环子群使得它们的内直积为该群，并且循环子群一定存在无限阶的。不妨设 GG 为 <a1>,⋯ ,<an><a_1>,\cdots,<a_n> 的内直积，且前 kk 个为有限阶，后面的为无限阶，记 H=<a1>⋯<ak>H=<a_1>\cdots <a_k>，kk 可以为零，若为零易知 GG 是无挠的，若 k≠0k\neq 0，容易证明 Tor(G)=HTor(G)=H，从而 GG 是 Tor(G)Tor(G) 与剩下的无穷循环群的内直积，又因为无穷循环群等价于整数加群，从而 G≅Tor(G)×ZrG\cong Tor(G)\times\mathbb{Z}^r，并且 rr 是由 GG 唯一确定的，称为 GG 的秩
  • 上述的 Tor(G)Tor(G) 是有限群，若记 t=∣Tor(G)∣t=|Tor(G)|，则 {gt:g∈G}≅(tZ)r≅Zr\{g^t:g\in G\}\cong (t\mathbb{Z})^r\cong\mathbb{Z}^r
    • 关于为什么若 Abel 群 G≅HG\cong H，则 {gt:g∈G}≅{ht;h∈H}\{g^t:g\in G\}\cong\{h^t;h\in H\}
    • 构造 σ:G→H\sigma:G\to H 的同构映射，易知，子群{gt:g∈G}\{g^t:g\in G\} 的像为 {ht;h∈H}\{h^t;h\in H\}
    • 从而同构
  • 若 Zr≅Zs\mathbb{Z}^r\cong\mathbb{Z}^s，则 r=sr=s
  • 上述我们弄清楚了有限生成 Abel 群的结构
  • Abel 群一定可解，但可解群不一定是 Abel 群
  • pp 阶和 p2p^2 阶群都是Abel 群，但一般的 p-群不一定是Abel 群，但p- 群一定可解
  • Burnside 定理表明，pαqβp^\alpha q^\beta 群都可解
  • 更一般的，Feit-Thompson 定理表明，奇数阶群都可解
  • 从而由奇合数阶群都不是单群，因为可解单群都是素数阶的
  • 从而还有合数阶单群都是偶数阶的
  • 有限群都有合成群列，合成群列的商群都是单群，所以我们需要研究有限单群的分类
    • 素数阶循环群
    • 交错群 An,n≥5A_n,n\geq 5
    • Lie 型单群
    • 6 个已知的散在单群

补充

  • 若 G≅(Cp)mG\cong (C_p)^m，CpC_p 为素数 pp 阶循环群，那么 GG 的自同构数量为 (pm−1)(pm−p)⋯(pm−pm−1)(p^m-1)(p^m-p)\cdots(p^m-p^{m-1})
  • 若两个循环群的阶互素，它们的外直积的自同构数量等于这两个循环群各自自同构数量的乘积，则由若 (m,n)=1(m,n)=1，则 φ(mn)=φ(m)×φ(n)\varphi(mn)=\varphi(m)\times\varphi(n) 得出
  • 由于任何有限 Abel 群可以有限分解为 Sylow p-子群的内直积，我们有 GG 的自同构数量等于 GpG_p 的自同构数量的乘积
  • 对于 Cp×Cp2C_p\times C_{p^2} 的自同构数量，等价于要保证每个元素的阶且生成整个群，注意这个外直积群不是循环群，它的阶为 p3p^3，但每个元素的阶为 pp 或 p2p^2，然后我们其实只需要保证 (a,e)(a,e) 和 (e,b)(e,b) 的阶，其中 a,ba,b 分别为两个循环群的生成元，然后生成整个群，可以证明这个外直积的群的自同构的数量为 p3(p−1)2p^3(p-1)^2
  • 若 GG 为Abel 群，则 G/HG/H 也为 Abel 群，Abel 群的合成群列的诸商群都是素数阶的
  • 对于 Z/dZ\mathbb{Z}/d\mathbb{Z} 的合成群列，易知其为 dd 阶 Abel 群，对于它的合成群列，若 d=paqbd=p^aq^b，则总共有 Ca+baC_{a+b}^a 种合成群列，实际上就是一个排列组合问题，从 Z/dZ\mathbb{Z}/d\mathbb{Z} 开始，每一次乘一个素因子，最后结果得到 dZ/dZd\mathbb{Z}/d\mathbb{Z} 即可
  • 合数阶单群的导群等于自身，这由导群为正规子群得出