对于一个集合 $X$，我们过去谈这个集合中的一个序列 $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ 的极限，往往是要为这个集合寻求一个度量函数 $d$ 来实现，同样对于两个集合 $X,Y$ 之间的映射，我们过去谈该映射的连续性，往往需要为这两个集合都配备一个度量来实现，度量的核心是用实数来量化集合中元素的距离，但这个度量他是脱离于集合本身的人为构建的一种依赖，它是一种额外的结构，并非集合的固有属性，但是否任意集合都存在一个自然度量来体现集合的自然结构呢？答案是否定的，并且我们可以发现我们在研究极限或者连续时，虽然我们依赖度量，但本质上我们并没有依赖度量给出的具体的数值距离，实际上的趋近关系是一个定性概念而非定量概念，我们只需要知道某个点是否在某个点的某个邻域内，例如在度量空间中，我们定义趋近，实际上是要证明对于某个点的所有开集总会包含序列中的点，那么我们称这个序列趋近于该点，也就是说关键我们要定义好每个点的邻域或者说定义开集即可

那么度量空间中的开集实际上有哪些对于研究极限和连续必不可少的性质呢，我们怎么去定义这个所谓的点的附近区域呢，附近区域中实际上理解为该点附近的点构成的集合，也就是说这里就产生了一个关系“附近”，自然的就会有无限个附近区域的并应该也要是附近区域，并且附近区域的交在有限情况下应该也是附近，这里并不要求无限，因为如果满足无限结合之前我们对于趋近的定义，会发现这个附近区域会缩于该点，这如果是附近区域，它不包含其他点，没有自由空间，无法描述靠近关系或者说附近关系，我们不认为它是附近区域。为了使得集合中每个点都有邻域，我们需要构建一个附近满足包含所有元素的附近。于是我们从集合本身的结构出发，自然产生了拓扑空间的概念

如果一个集合存在一个子集族，该子集族包含该集合和空集，且该子集族中任意个子集的并仍为族中元，有限个子集的并仍为族中元，则称该子集族为这个集合的一个拓扑，该集合与这个子集族组成的序偶称为一个拓扑空间。那么从这个定义可以发现，它仅仅只依赖于集合本身的结构，这时我们称子集族中的集合为开集，它在集合中的补集称为闭集。

也就是对于拓扑空间，集合就有了附近区域的概念，于是我们称包含该点的开集为该点的一个邻域。如果子集族中的每一个开集都可以表示为一个开子集族中某些元素的并集，则称这个开子集族为拓扑空间的拓扑基，我们通常考虑具有可数拓扑基的拓扑空间。

值得注意的是拓扑空间中的两点可以没有不相交的邻域，即可能存在两点的所有邻域都相交，从而导致极限不唯一，如果一个序列趋近于其中一个点，必然也趋近于另一个点，这与我们前面的极限唯一性可能冲突，从而我们通常在具有一定限制的拓扑空间中进行分析。我们称如果某拓扑空间中的任意两点存在不相交的邻域则它为豪斯多夫拓扑空间。

具有可数拓扑基的豪斯多夫拓扑空间，如果它的任何一点都具有与整个空间 $\mathbb{R}^n$ 或者半空间 $H_n$ 同胚的邻域，则称它为 $n$ 维流形，这里同胚于半空间是考虑到边界点，边界点的邻域与之的交必然是有边界的，但 $R^n$ 是没有边界的。在欧式空间中，一个n维流形是指，其上任一点存在一个邻域与之的交同胚于 $R^n$ 或 $H_n$。实现上述同胚的映射称为流形的局部图，简称流形的图，这里的映射是从 $R^n$ 到 $U$，前者称为参数域，后者称为作用域，如果一组局部图的全体作用域能覆盖整个流形，则称这一组局部图为流形的图册

值得注意的是所谓的拓扑空间实际上就是定义了集合的开集和闭集，选择了集合 $X$ 的哪些子集为开集，哪些是闭集。而在如何选择上面，则需要满足我们此前定义的三个条件。下面我们在给出由拓扑空间引发的几个定义。

集合 $E\subset X$ 称为拓扑空间 $(X,\tau)$ 的处处稠密集是指对于任何 $x\in X$，以及包含 $x$ 的任何开集（即该点的邻域 $U(x)$），$E\cap U(x)$ 均不是空集，例如在 $R$ 中考虑标准拓扑，所谓标准拓扑是对于有限维线性空间而言对其配备欧式距离所形成的度量空间，易知在 $R$ 中 $Q$ 为稠密集，从而 $R^n$ 中的有理点集为 $R^n$ 中的稠密集

在拓扑空间 $(X,\tau)$ 中，如果对于集合 $K\subset X$，任何覆盖它的开集族都存在 $K$ 的有限覆盖，则我们称 $K$ 为紧集或列紧集。我们知道在拓扑空间中一个集合是否为开集往往是相对而言的，这取决于包含该集合的拓扑空间，例如设拓扑空间 $(X,\tau)$ 的子集 $Y\subset X$，我们可以通过 $X$ 上的拓扑诱导 $Y$ 上的拓扑，对于 $X$ 上的开集 $G_X$，我们定义 $Y\cap G_X$ 为 $Y$ 上的开集，从而诱导了拓扑 $\tau_Y$，$(Y<\tau_Y)$ 称为 $(X,\tau)$ 的子空间，显然 $Y$ 中的开集不一定是 $X$ 中的开集。既然开集是相对的，显然有闭集也是相对而言的，但是我们刚刚定义的紧集则于包含该集合的空间无关，它是绝对的，这也是紧集被定义的缘由，也就是说对于拓扑空间 $(X,\tau_X)$ 和 $(Y,\tau_Y)$，若 $K\subset X\cap Y$，则 $K$ 在 $X$ 和 $Y$ 中要么同时为紧集，要么同时不是紧集。