• 域按加法构成 Abel 群，除去零元按乘法也构成 Abel 群
• 整环可通过构造等价类及其运算形成域，并且该域可以当作整环的一个扩充，（这里区别于形式幂级数环，一元多项式环都是交换幺环的引进一个独立元的扩充，但这里没有引进独立元，而是强行引入逆元，而逆元并不是独立元），我们称该域为整环 $R$ 的商域
• 在同构意义下，整环的商域是包含该整环的最小域
• 域 $F$ 上的 $n$ 次多项式在 $F$ 上至多有 $n$ 个不同的根
• 域 $F$ 的乘法群的有限子群都是循环的，特别的对于有限域，其子群都是循环群，从而 $q$ 元域的乘法群必为 $q-1$ 阶循环群
• 由于有限整环等价于有限域，所以 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 是 $p$ 元有限域
• 设 $F$ 为 $q$ 元域，则 $x^{q-1}-1=\Pi_{a\in F^*}(x-a)$
  • 从而有 $a^{q-1}=1,a^q=a$
  • 带入上述的有限域 $\mathbb{Z_p}$，比较常数项系数，有 $-\bar{1}=(-1)^{p-1}\Pi_{r=1}^{p-1}\bar{r}$，从而 $(p-1)!\equiv-1\pmod p$，并且上述等式当且仅当 $p$ 为素数成立
• 域 $F$ 的特征为单位元的加法阶，所有非零元的加法阶都等于单位元的加法阶，如果加法阶为无穷，则记特征为零，有理数域，实数域和复数域的特征都是零，而 $\mathbb{Z}_p$ 的特征为 $p$
• 如果域的特征不是零，则必为素数，从而如果为有限域，则特征必为素数
• 如果域 $F$ 是特征为素数 $p$ 的域，则其最小子域为单位元生成的域 $E=(e)=\{me\mid m\in \mathbb{Z}\}$，并且 $E\cong \mathbb{Z}_p$
• 对于特征为素数 $p$ 的域，我们有对任意 $m\in \mathbb{N},a_1,\cdots ,a_n\in F$，有 $(a_1+\cdots+a_n)^{p^m}=a_1^{p^m}+\cdots+a_n^{p^m}$，这主要用了如果 $p\mid n$，则 $na=0,\forall\,a\in F$ 成立
• 设 $R$ 为幺环，则加法 Abel 群为 R-模，是指对每个 $a\in R$，与 $x\in V$，都有 $V$ 中唯一元 $a\circ x$ 与之对应，并且数乘 $\circ$ 满足
  • $\forall\,x\in V$，均有 $1\circ x=x$，其中 $1$ 为 $R$ 上的单位元
  • 任给 $a,b\in R$ 和 $x\in V$，均有 $(ab)\circ x=a\circ (b\circ x)$
  • 任给 $a,b\in R$ 与 $x,y\in V$，均有 $(a+b)\circ x=a\circ x+b\circ x,\quad a\circ(x+y)=a\circ x+a\circ y$
• 如果上述的幺环是域，则把 R-模 称为域上的向量空间或者线性空间
• 若 $K$ 是域 $L$ 的子域，我们容易知道域 $L$ 可以看作域 $K$ 上的向量空间，我们用 $[L;K]$ 来表示这个向量空间的维数，并称之为域扩张 $L/K$ 的次数
• 若 $L/M,M/K$ 均为域的有限次扩张，则 $L/K$ 也是有限次扩张，且 $[L:M]=[L:M][M:K]$
• 设 $L/K$ 为域扩张，$\alpha\in L$ 为 $K$ 上的代数元，显然 $I=\{g(x)\in k[x]\mid g(\alpha)=0\}$ 是多项式环 $K[x]$ 的理想，而 $K[x]$ 为主理想整环，故有唯一的首一多项式 $f(x)\in K[x]$，使得 $I=(f(x))$，从而 $g(x)\in I$ 时有 $f(x)\mid g(x)$，因此 $f(x)$ 是 $I$ 中次数最低的首一多项式，并且 $f$ 在 $K$ 上不可约，否则由整环性质会得到次数更低的多项式满足条件，我们称上述的 $f(x)$ 为代数元 $\alpha$ 在 $K$ 上的极小多项式，若 $\deg f=n$，则称 $\alpha$ 为 $K$ 上的 $n$ 次代数元
• 设 $L/K$ 为域扩张，$\alpha\in L$，则 $K[\alpha]$ 是指包含 $K$ 与 $\alpha$ 的 $L$ 的最小子环，易知 $K[\alpha]=\{P(\alpha)\mid P(x)\in K[x]\}$ ，而 $K(\alpha)$ 是指包含 $K$ 与 $\alpha$ 的 $L$ 的最小子域，也容易知道 $K(\alpha)$ 实际上就是 指 $K[\alpha]$ 的商域，从而 $K(\alpha)=\{\frac{P(\alpha)}{Q(\alpha)}\mid P,Q\in K[x]\}$，并且 $Q(\alpha)\neq 0$
• 可以证明对于域扩张 $L/K$，若 $\alpha\in L$ 为 $K$ 上的 $n$ 次代数元，则 $K[\alpha]=K(\alpha)$，这等价于证明 $K[\alpha]$ 任意非零元都可逆，这里根据极小多项式不可约以及贝祖等式即可，并且我们还有 $[K(\alpha):K]=n$，以及 $\{1,\alpha,\cdots,\alpha^{n-1}\}$ 为域扩张 $K(\alpha)/K$ 的一组基这里用到极小多项式的次数为 $n$
• 对于域扩张 $L/K$，若 $\alpha\in L$ 为 $K$ 上的代数元，$f$ 为其在 $K$ 上的极小多项式，则 $K[x]/(f(x))\cong K(\alpha)$，利用环同态定理即可，构造从 $K[x]\to K[\alpha]$ 的同态，这说明商环 $K[x]/(f(x))$ 也是域，从而 $(f(x))$ 是 $K[x]$ 的极大理想，从而是素理想，这也说明 $f$ 是素元，从而是不可约元
• 而设 $K$ 为域，如果 $f\in K[x]$ 首一 $n$ 次不可约，则 $(f)$ 是极大理想，则 $F=K[x]/(f)$ 是域，若记 $\overline{P(x)}=\{Q(x)\in K[x]\mid P(x)\equiv Q(x)\pmod {f(x)}\}$，易知 $a\to \bar{a},a\in K$ 为 $K\to F$ 的单同态，如果把 $F$ 中诸元 $\bar{a},a\in K$ 用相应的 $a\in K$ 替代所得到的集合记为 $L$，定义 $a+\overline{P(x)}=\bar{a}+\overline{P(x)},a\cdot \overline{P(x)}=\bar{a}\cdot \overline {P(x)}$，则 $L$ 称为 $K$ 的同构于 $F$ 的扩域，并且在 $L$ 中 $f(\bar{x})=\overline{f(x)}=0$，也就是说 $L$ 中元 $\bar{x}$ 在 $K$ 上的极小多项式为上述的 $f(x)$，再根据上述定理可知 $L\cong K(\bar{x})$，又 $K(\bar{x})\subset L$，所以 $L=K(\bar{x})$，且有 $[L:K]=\deg f(x)=n$
• 根据上述过程，$\mathbb{C}=\mathbb{R}(i)$ 即是同构于 $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ 的 $\mathbb{R}$ 的扩域，可以把 $i$ 理解为 $x$ 模 $x^2+1$ 的剩余类
• 对于域扩张 $L/K$，$[L:K]$ 有穷等价于存在有穷个 $K$ 上代数元 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n\in L$ 使得 $K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=L$，注意这里也有 $K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=K[\alpha_1,\cdots,\alpha_n]$
• 注意如果 $\alpha$ 是 $K$ 上的代数元，则也一定是其扩域上的代数元
• 有理数域 $Q$ 的有限次扩域叫做数域，容易证明 $\mathbb{Q}(\cos 20^{\circ})$ 是 $\mathbb{Q}$ 的三次扩域，这等价于证明其在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式是三次的，由此可以证明尺规作图不可能三等分60度角，即做不出点 $\cos 20^{\circ}$
• 设 $L/K$ 为域扩张，如果 $L$ 中元都是 $K$ 上的代数元，则称 $L/K$ 为代数扩张，否则称为超越扩张，易知如果为有穷域扩张，则 $L/K$ 必为代数扩张，但反过来不一定成立
• 若 $L/M$ 和 $M/K$ 均为代数扩张，则 $L/K$ 也是代数扩张
• 若 $L/K$ 为域扩张，则 $\alpha\in L$ 是 $K$ 上的代数元等价于有不全为零的 $a_1,\cdots,a_n\in L$，使得 $\alpha V\subset V$，这里 $V=K\alpha_1+\cdots+K\alpha_n$
• $\overline{K}=\{\alpha\in L\mid \alpha为 K 上代数元\}$ 称为 $K$ 在 $L$ 中的闭包，也是 $L$ 的子域，并且 $\overline{\overline{K}}=\overline{K}$
• 域 $F$ 为代数闭域是指 $F[x]$ 中的任何非常数多项式都可分解为一次式的乘积
• 代数基本定理：复数域式代数闭域
• 有理的代数整数一定是普通整数，全体代数整数形成环
• 有限域的阶一定是素数幂次，并且若 $|F|=p^n$，则 $ch(F)=p$，反过来如果 $ch(F)=p$，则 $|F|$ 一定为 $p$ 的幂次，证明前者根据群的拉格朗日，后者根据域扩张的阶的性质如下
• 若 $L/K$ 为有限扩张，且 $K$ 为有限域，设 $[L:K]=n$，则 $|L|=|K|^n$
• 有限域扩张到有限域，则一定是有限扩张，从而为代数扩张
• 若 $F$ 为 $q$ 元域，$q\mid n$，则不存在 $f(x)\in F[x]$，使得 $f(x)^2\mid x^n-x$
• 若 $F$ 为 $q$ 元域，则 $x^{q^n}-x$ 是 $F[x]$ 中次数整除 $n$ 的所有首一不可约多项式的乘积，先证明其是一些不同的首一不可约多项式的乘积，再证明 d 次 $p(x)\mid x^{q^n}-x\iff d\mid n$ 即可
• $q$ 元域中存在任意次的首一不可约多项式，从而有限域存在任意次扩域
• 任意素数次幂的域均存在，并且阶为 $p^n$ 的素数次幂域均同构，这里先要证明素数次的域都同构于 $\mathbb{Z}_p$，这主要用到素数阶加法群是循环群，只需构造单位元之间的同态即可，然后根据上述定理可知 $\mathbb{Z}_p$ 存在任意次扩域，从而存在扩域 $|F|=p^n$，以此为桥梁证明
• 由于同构意义下 $q$ 元域唯一，故记为 $\mathbb{F}_q$ 或 $GF(q)$，称为 Galois 域
• 构造任意 $p^n$ 阶域 $F$ 的步骤：
  • 主要是找 $\mathbb{Z}_p$ 中的 $n$ 次不可约多项式
  • 这就要利用 $x^{p^n}-x$ 是 $\mathbb{Z}_p[x]$ 中次数整除 $n$ 的所有首一不可约多项式的乘积，找到不可约多项式 $f(x)$
  • 从而得到 $\mathbb{Z}_p[x]/(f(x))$，这就是一个 $p^n$ 阶域
• 设 $\mathbb{F}_q$ 上多项式方程组 $\begin{cases}f_1(x_1,\cdots,x_n)=0\\\cdots\\f_m(x_1,\cdots,x_n)=0\end{cases}$ 在 $\mathbb{F}_q^n$ 上的解的个数为 $a$，如果说 $\sum \deg f_i<n$，则 $p\mid a$
• 设 $K$ 为域，如果对 $K$ 的扩域 $L$，多项式 $f(x)\in K[x]$ 在 $L$ 中可以分解成一次式的乘积，并且 $L$ 换成它的任意包含 $K$ 的真子域都没有这样的性质，则称 $L$ 为 $f(x)$ 在 $K$ 上的分裂域
• 实际上，设 $f(x)=0$ 的所有根为 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n\in L$，则 $L=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$
• 容易证明若 $K$ 为域，则任何非常数多项式 $f(x)\in K[x]$ 在 $K$ 上的分裂域存在
• 对于代数扩张 $L/K$，如果 $K[x]$ 中的每个不可约多项式，只要在 $L$ 中有一个根，则可以分解为一次式的乘积，我们称该代数扩张 $L/K$ 为域的正规扩张，等价的定义还有 $L$ 中任意元在 $K$ 上的极小多项式在 $L$ 中均可分解为一次式的乘积
• $L/K$ 是有限正规扩张当且仅当 $L$ 是 $K[x]$ 中某个非常数多项式的分裂域
• 要判断 $K(\alpha)$ 是否是 $K$ 的正规扩域，等价于看 $\alpha$ 在 $K$ 上的极小多项式是否可以在 $K(\alpha)$ 上分解为一次式的乘积，例如 $Q(\sqrt 2)$ 是 $Q$ 的正规扩域，但 $Q(\sqrt[3]{2})$ 则不是
• 并且对于 $K(\alpha_1,\alpha_2)$ 是否是 $K$ 的正规扩域，等价于看 $\alpha_1$ 在 $K$ 上极小多项式的全部根，以及 $\alpha_2$ 的是否都包含于 $K(\alpha_1,\alpha_2)$，例如 $Q(\sqrt 2,\sqrt 3i)$ 是 $Q$ 的正规扩域
• 更一般的我们有， $K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$ 为 $K$ 的正规扩域，设 $f_i$ 为 $\alpha_i$ 的极小多项式，则其等价于 $K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$ 为 $\Pi f_i$ 在 $K$ 上的分裂域
• 对于代数扩张 $L/K$，如果 $L$ 中元 $\alpha$ 在 $K$ 上的极小多项式在其分裂域中没有重零点，则称 $\alpha$ 为 $K$ 上的可分元，如果 $L$ 中元均为可分元，则称 $L/K$ 为域的可分扩张
• 若 $L/K$ 为代数扩张，且 $\alpha \in L$ 在 $K$ 上的极小多项式为 $f(x)$，则 $\alpha$ 为 $K$ 上可分元等价于 $f'(x)$ 不是零多项式
• 对于代数扩张 $L/K$，其为可分扩张等价于 $ch(K)=0$ 或者 $K$ 为有限域，也就是说对于特征为素数的无穷域 $K$，$L/K$ 不是可分扩张，以及如果 $K$ 是有限域，则 $L/K$ 一定是可分扩张，以及有限域的有限扩张一定是有限可分扩张
• 回顾 $q$ 元有限域上的 $n$ 次多项式一定整除于 $x^{q^n}-x$
• 如果域 $K$ 的特征是素数 $p$，且 $L/K$ 为有限扩域，则 $L^p=\{\alpha^p\mid \alpha\in L\}\leq L$，这里利用了对于特征为素数 $p$ 的域有 $(a+b)^{p^m}=a^{p^m}+b^{p^m}$ ，并且若令 $KL^p$ 为 $L^P$ 生成的 $K$ 上线性空间，即有 $KL^p=\{a_1\alpha_1^p+\cdots+a_m\alpha_m^p\mid m\in \mathbb{Z}^+,a_i\in K,\alpha_i\in L\}$，则 $KL^p$ 为 $K$ 的有限次扩域
• 我们还有上述的特征为素数的有限扩域 $L/K$ 为可分扩张等价于 $KL^p=L$，即
• 如果 $L/M$ 和 $M/K$ 都是有限可分扩张，则 $L/K$ 也是有限可分扩张
• 单扩张定理：设 $L/K$ 为有限可分扩张，则 $L/K$ 为单扩张，即存在 $\alpha\in L$，使得 $L=K(\alpha)$
• 根据上述可知，$Q$ 的有限扩张都是有限可分扩张，从而对于 $d_1,d_2\neq 0,1$ 为不同的无平方因子的整数，$Q(\sqrt d_1,\sqrt d_2)=Q(\alpha)$，实际上这里 $\alpha=\sqrt d_2+\sqrt d_2$
• 域 $F$ 的自同构群记为 $Aut(F)$，对于 $G\leq Aut(F)$，$G$ 的不变域 $Inv(G)=\{a\in F\mid \sigma(a)=a,\forall\,\sigma\in G\}$ 是 $F$ 的子域
• 设 $L/K$ 为域扩张，令 $Gal(L/K)=\{\sigma\in Aut(L)\mid\sigma(a)=a,\forall\, a\in K\}$，这是一个群，称为域扩张 $L/K$ 的 Galois 群
• 设 $q=p^n$，对 $\alpha\in F_q$，定义 $\sigma(\alpha)=\alpha^p$，则 $\sigma\in Aut(F_q)$，由于 $ch(F_q)=p$，所以在 p 元域 $E$ 中有$(ne)^p=ne$，从而 $\sigma \in Galois(F_q/E)$
  • 又由于 $x^{q-1}-1\in E[x]$，且 $x^{q-1}-1=\Pi_{a\in F^*}(x-a)$
  • 所以 $F$ 是 $x^{q-1}-1$ 在 $E$ 上的分裂域
  • 从而 $F_q/E$ 是正规扩张，从而是有限可分的正规扩张
  • 可以证明 $Gal(F_q/E)$ 是 $[F_q:E]=n$ 阶循环群
• 若 $L/K$ 是有限可分扩张，则 $|Gal(L/K)|\leq [L:K]$，并且 $|Gal(L/K)|=[L:K]$ 等价于 $L/K$ 为正规扩张
• 若 $L/K$ 是有限可分扩张，$\alpha\in L,H\leq Gal(L/K)$，则 $\Pi_{\sigma\in H}(x-\sigma(a))\in Inv(H)[x]$
• 对于可分的正规扩张，我们称之为 Galois 扩张，我们下面研究有限 Galois 扩张，上述的 $F_q/E$ 就是有限 Galois 扩张
• 设 $L/K$ 为域的有限 Galois 扩张
  • 如果 $K\leq M\leq L$，则 $L/M$ 也是有限 Galois 扩张，并且 $Gal(L/M)\leq Gal(L/K)$，以及 $Inv(Gal(L/M))=M$
  • $H\leq Gal(L/K)$ 时，$M=Inv(H)$ 为 $K$ 与 $L$ 的中间域，且 $Gal(L/M)=H$
  • 设 $K\leq M\leq L$，则
    • $M/K$ 是域的正规扩张等价于 $Gal(L/M)\unlhd Gal(L/K)$
    • 若 $M/K$ 是正规扩张，则 $Gal(M/K)\cong Gal(L/K)/Gal(L/M)$
• 上述定理说明对于 Galois 扩张 $L/K$，
  • $\{Gal(L/K) 的子群\}=\{Gal(L/M)\mid K\leq M\leq L\}$
  • $\{Gal(L/K) 的正规子群\}=\{Gal(L/M)\mid K\unlhd M\leq L\}$