函数极限

随着一定条件变化的量在数学上往往用函数表示，数列可以看成是定义在正整数集上的函数，它在自变量 $n$ 处的函数值为 $a_n$，给定一个一般的函数我们同样想研究因变量 $f(x)$ 随着自变量 $x$ 变化时它如何变化，我们在研究数列的时候，就是在研究当 $n$ 趋于正无穷时，$a_n$ 是否会趋于一个固定的数，这就导出了数列极限的概念，对于定义在 $[a,+\infty)$ 的函数 $f$ 来说，我们同样想知道当 $x$ 趋于正无穷时，$f(x)$ 是否趋于某个固定的值。

于是我们可以仿照数列极限的定义给出函数在正无穷远处极限的定义：设函数 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 中有定义，$\alpha \in \mathbb{R}$。如果任给 $\varepsilon>0$，存在 $A \ge a$，当 $x>A$ 时

$$|f(x)-\alpha|<\varepsilon,$$

则称函数 $f(x)$ 在 $+\infty$ 处有极限 $\alpha$，记为

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \alpha \quad \text{或} \quad f(x) \to \alpha \ (x \to +\infty).$$

根据此定义我们可以证明极限若存在则一定是唯一的，并且我们可以推导出其夹逼性质：设在 $[a,+\infty)$ 中 $g \le f \le h$，且

$$\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} h(x) = \alpha,$$

则有

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \alpha.$$

同理我们可以给出函数在负无穷远处极限的定义，并且如果函数 $f$ 在$\pm\infty$ 处的极限都存在且都等于 $\alpha$，则称 $f$ 在无穷远处有极限，记为

$$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\alpha$$

根据此性质我们可以推导一个重要极限：

$$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac 1x)^x=e$$

并且容易验证若 $c\in\mathbb{R}$，则 $\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac cx)^x=e^c$

与数列不同，对于函数来说，出来研究无穷远处的极限，我们还要研究它在某个实数的极限，比如当 $x_0$ 固定，我们想研究 $x\to x_0$ 时 $f(x)$ 如何变化，值得注意的是，$f$ 在 $x=x_0$ 处不一定有定义

为了后续方便叙述，我们先定义一个记号：设 $x_0 \in \mathbb{R}$，$\delta>0$，我们记 $V(x_0, \delta) = (x_0-\delta, x_0) \cup (x_0, x_0+\delta)$，称为 $x_0$ 的一个去心开邻域或空心开邻域。

于是我们可以模仿无穷远处极限的定义给出 $x_0$ 处极限的定义：设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的一个空心开邻域 $V(x_0, \delta_0)$ 中有定义，$\alpha \in \mathbb{R}$，如果任给 $\varepsilon>0$，存在 $\delta \in (0, \delta_0)$，当 $x \in V(x_0, \delta)$ 时 $|f(x)-\alpha|<\varepsilon$，则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有极限 $\alpha$，记为

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = \alpha \quad \text{或} \quad f(x) \to \alpha \ (x \to x_0).$$

类似的，我们可以证明某点处的极限存在也一定是唯一的，根据上述我们还可以类似地定义左右极限

• 左极限：如果任给 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta \in (0, \delta_0)$，当 $x \in (x_0-\delta, x_0)$ 时 $|f(x)-\alpha|<\varepsilon$，则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处(当 $x$ 趋于 $x_0^-$ 时)有左极限 $\alpha$，记为

$$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \alpha \quad \text{或} \quad f(x) \to \alpha \ (x \to x_0^-).$$

• 右极限可以类似地定义
• $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左极限也记为 $f(x_0^-)$ 或 $f(x_0-0)$，右极限也记为 $f(x_0^+)$ 或 $f(x_0+0)$。

不难看出，函数极限存在当且仅当左右极限存在且相等，并且同无穷远处极限相同，我们可以根据定义推导出函数极限的夹逼性质：

设在 $V(x_0, \delta_0)$ 中 $g \le f \le h$，且

$$\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = \alpha,$$

则

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = \alpha.$$

上述我们定义了无穷远处以及某个实数处的函数极限，下面我们研究函数极限有什么性质，如果 $f$ 在 $x_0$ 处有极限，自然我们会知道在这个点附近的函数值和这个极限的差异很小，也就是说：设 $f$ 在 $x_0$ 处有极限，则存在 $\delta>0$ 以及 $M>0$，使得当 $x \in V(x_0, \delta)$ 时 $|f(x)| \le M$ 成立，同理我们可以证明函数在正负无穷远处有类似的有界性。

关于函数极限还有绝对值性质，局部保号性，局部保序性以及四则运算性质，根据定义和相关不等式容易证明，这里不一一赘述。下面我们研究复合函数的极限问题，当 $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=u_0,\lim\limits_{u\to u_0}f(u)=\alpha$，我们自然会想是否有 $\lim\limits_{x\to x_0}f(g(x))=\alpha$，但是有一个问题是，我们在定义极限的时候并不依赖于该点的值，所以我们并不能控制该点的值与极限的差异，例如在上述问题中，如果在 $x$ 的某个开邻域，$g$ 的值取到了 $u_0$，这在 $g$ 的极限中是允许的，但是在 $fg$ 的极限定义证明中会出现 $|fg(x_0)-\alpha|=|f(u_0)-\alpha|<\varepsilon$，如果 $g$ 在 $x_0$ 的每个空心开邻域中都能取到 $u_0$，那么可以推出 $f(u_0)=\alpha$，但如果说存在 $x_0$ 的一个空心开邻域，使得总有 $g(x)\neq u_0$，那么之前的假设容易证明也是成立的。下面我们给出关于复合函数极限的完整表述：

设 $y = f(g(x))$ 是由 $y = f(u)$ 与 $u = g(x)$ 复合而成，$x \in V(x_0, \delta_0)$，设 $\lim_{x \to x_0} g(x) = u_0, \quad \lim_{u \to u_0} f(u) = \alpha.$，则下列条件至少满足一个时，有 $\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(g(x)) = \alpha$：

• 在 $x_0$ 的某个空心开邻域中总有 $g(x) \neq u_0$
• $f$ 在 $u_0$ 处有定义，且 $f(u_0) = \alpha$

即要么 $g$ 需满足在 $x_0$ 附近不等于该极限，要么 $f$ 需满足 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

根据复合函数的极限，我们可以推导出如下重要的极限：

• $\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac 1x}=e$
• $\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^x-1 }{x}=\ln a$
• $\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha$

上述的讨论我们都是建立在函数极限存在的情况下，但有可能我们并不知道函数极限是否收敛，以及函数收敛到什么值，一般情况下我们选取假定的收敛值是比较困难的，这依赖于直觉，有没有什么方法可以更方便地判定函数极限是否存在，只要存在了，我们便可以根据函数极限的性质求解极限值。

我们从单调数列的左右极限开始考虑，如果 $f$ 在 $(a,b)$ 上有定义，且 $f$ 单调递增有上界，容易根据定义证明 $f$ 在 $b$ 处一定有左极限，从而 $f$ 在 $(a,b]$ 上每一点都存在左极限，右极限和无穷远处的单调函数同理有此结论。

下面我们给出更一般的判定函数极限是否存在的方法：

设函数 $f$ 在 $x_0$ 的某个空心开邻域中有定义，则 $f$ 在 $x_0$ 处的极限为 $\alpha$ 当且仅当对空心开邻域中任何收敛于 $x_0$ 的数列 $\{x_n\}$，均有

$$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \alpha$$

这个定理称为 $Heine$ 定理，可以改述称应用起来较为方便的形式：

$$f(x) 在 x_0 处有极限当且仅当对空心开邻域中任何收敛于 x_0 的数列 \{x_n\}，\{f(x_n)\} 均收敛$$

为了证明两种表述等价，只需要证明任意两个收敛于 $x_0$ 的数列，其函数值收敛相等，只需要构造另一个数列，其奇子列和偶子列分别为上述两个数列即可，已知该数列仍收敛于 $x_0$，且若其函数值收敛，则说明奇子列和偶子列函数值收敛相同，故得证。

和数列极限的存在性一般，函数极限也有 $Cauchy$ 收敛原理：

设 $f$ 在 $x_0$ 的空心开邻域中有定义，则 $f$ 在 $x_0$ 处有极限当且仅当任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $x, y \in V(x_0, \delta)$ 时

$$|f(x) - f(y)| < \varepsilon.$$

必要性直接根据定义和三角不等式即可证明，充分性通过上述的 $Heine$ 定理证明。

通常来说我们会根据 $Heine$ 定理通过找反例证明极限不存在，通过 $Cauchy$ 定理证明极限存在。

连续函数

我们知道一般的函数范围是很宽泛的，想要一起研究是很困难的，下面我们先研究一类特殊的函数。

设 $f$ 在 $(x_0-\delta_0,x_0+\delta_0)$ 中有定义，如果说 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，则我们称 $f$ 在 $x_0$ 处连续，这个条件就是保证上述复合函数极限性质的条件之一，类似的我们可以定义左连续和右连续，如果 $f$ 在区间 $I$ 的内部的每一点都连续，且在可能的左端点处右连续以及右端点处左连续，则称 $f$ 为 $I$ 上的连续函数，记为 $f\in C(I)$。

也就是说下面我们研究的是区间上的连续函数，我们容易验证下列事实：

• 对数函数 $\log_a x$ 在 $(0,+\infty)$ 中连续；
• 指数函数 $a^x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 中连续；
• 幂函数 $x^\alpha$ 在 $(0,+\infty)$ 中连续；
  • 如果 $\alpha > 0$，则 $x^\alpha$ 在 $[0,+\infty)$ 中连续
  • 如果 $\alpha = \frac{p}{q}$ 为既约分数，且 $q$ 为奇数，则 $x^\alpha$ 在 $(-\infty,0)$ 中连续
  • 若同时 $\alpha$ 还大于零，则 $x^\alpha$ 在 $(-\infty,0]$ 中连续
  • 特别地，当 $n$ 为正整数时，$x^n$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 中连续
• 三角函数 $\sin x, \cos x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 中连续。

在研究区间上的连续函数之前，我们需要给出另一种手段来刻画连续函数，根据定义证明连续只对一些基本函数有用，我们需要一个更方便的手段，下面我们引入振幅的概念：

设 $f$ 为区间 $I$ 中的有界函数，记

$$\omega(f, I) = \sup\{|f(x)-f(y)| \mid x,y \in I\},$$

称为 $f$ 在 $I$ 中的振幅，设 $f$ 在 $x_0$ 附近有界，当 $\delta > 0$ 时，$f$ 在 $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ 中的振幅记为 $\omega_\delta(f, x_0)$，不难看出当 $\delta$ 变小时，$\omega_\delta(f, x_0)$ 不会变大，记

$$\omega(f, x_0) = \lim_{\delta \to 0^+} \omega_\delta(f, x_0),$$

称为 $f$ 在 $x_0$ 处的振幅。

有了振幅的概念，我们有如下判定连续的定理：

设函数 $f$ 在 $(x_0-\delta_0, x_0+\delta_0)$ 中有定义，则 $f$ 在 $x_0$ 处连续当且仅当 $\omega(f, x_0) = 0$。

对于振幅大于零的那些点，即不连续的点，我们称为间断点，易知全体间断点构成的集合可以表示为

$$\{x \mid \omega(f, x) > 0\} = \bigcup_{k=1}^{\infty} \left\{x \mid \omega(f, x) > \frac{1}{k}\right\}.$$

对连续函数进行刻画后，我们来分析连续函数的一些性质，首先关于函数极限的讨论的性质在连续函数都有，且可以做改进，例如局部有界性：设函数 $f$ 在 $(x_0-\delta_0, x_0+\delta_0)$ 中有定义，如果 $f$ 在 $x_0$ 处连续，则存在 $0 < \delta \le \delta_0$ 以及 $M > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 时 $|f(x)| \le M$。

从而我们有闭区间上的连续函数在其上的每一点都局部有界，根据有限覆盖定理，可以推出其一定为有界函数。同样地，连续函数还有相应的绝对值性质、局部保号性质以及四则运算性质。而对于连续函数，它不需要额外条件，天然满足复合性质，这由前面的函数极限的复合性质的证明易得。

并且，连续函数同样有 $Heine$ 定理和 $Cauchy$ 定理：

• Heine 定理：函数 $f$ 在 $x_0$ 处连续当且仅当任给收敛到 $x_0$ 的数列 $\{x_n\}$，$\{f(x_n)\}$ 均收敛到 $f(x_0)$。
• Cauchy 准则：函数 $f$ 在 $x_0$ 处连续当且仅当任给 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x_0| < \delta, |y - x_0| < \delta$ 时，$|f(x) - f(y)| < \varepsilon$。

上面我们已经得出闭区间上的连续函数一定有界，记其上确界为 $M$，如果 $f$ 可以取到 $M$，说明 $f$ 可以取到最大值，如果 $f$ 总是取不到，那么 $\frac 1 {M-f}$ 也是连续的在该闭区间上，从而也有上界 $K$，推出 $f\leq M-\frac1K$，从而这与 $M$ 为最小的上界矛盾，故 $f$ 在该闭区间中总是能达到最大值，同理，也总是可以达到最小值，这称为连续函数的最值定理。

下面我们再来介绍连续函数的另一个重要的性质：

设 $f \in C[a,b]$，如果 $f(a)f(b) < 0$，则存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi) = 0$。

证明不妨设 $f(a) < 0, f(b) > 0$，采用反证法，如果 $f$ 没有零点，考虑函数 $g = f/|f|$，则 $g$ 仍然连续，而其值只取 $\pm 1$。比如 $g(a) = -1, g(b) = 1$。对 $[a,b]$ 做二等分，若 $g\left(\frac{a+b}{2}\right) = 1$，则记 $[a_1,b_1] = \left[a,\frac{a+b}{2}\right]$；若 $g\left(\frac{a+b}{2}\right) = -1$，则记 $[a_1,b_1] = \left[\frac{a+b}{2},b\right]$；总之 $g(a_1) = -1, g(b_1) = 1$，再对 $[a_1,b_1]$ 做二等分，可取小区间 $[a_2,b_2]$，使得 $g(a_2) = -1, g(b_2) = 1$。如此继续，可得闭区间套 $\{[a_n,b_n]\}$，使得 $g(a_n) = -1, g(b_n) = 1$，根据闭区间套原理，这些闭区间存在公共点 $\xi$，且 $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = \xi$。 由 $g$ 连续以及 Heine 定理可得

$$g(\xi) = \lim_{n \to \infty} g(a_n) = -1, \quad g(\xi) = \lim_{n \to \infty} g(b_n) = 1,$$

这就导出了矛盾，上述定理称为零值定理，它等价于下述的介值定理：

设 $f \in C[a,b], f(a) \neq f(b)$，$\mu$ 是严格介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的数，则存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi) = \mu$。

具体证明可以设 $\mu$ 是严格介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的数，则 $(f(a)-\mu)(f(b)-\mu) < 0$，因此，由零值定理，连续函数 $f(x)-\mu$ 在 $(a,b)$ 内存在零点 $\xi$，此时 $f(\xi) = \mu$。

上面我们定义的连续性是依赖于每个点的约束，如果像上面我们研究的是区间上连续函数的性质，我们更需要一个全局的整体的刻画，于是我们引入一致连续性的概念：

设函数 $f$ 在区间 $I$ 中有定义，如果任给 $\varepsilon > 0$，均存在 $\delta = \delta(\varepsilon) > 0$，使得当 $x,y \in I$ 且 $|x-y| < \delta$ 时 $|f(x)-f(y)| < \varepsilon$，则称 $f$ 在 $I$ 中一致连续。

下面我们给出 $Holder$ 函数：设 $f$ 是区间 $I$ 中的函数，如果存在 $0 < \alpha < 1$，以及常数 $M$，使得

$$|f(x)-f(y)| \le M|x-y|^\alpha, \quad \forall x,y \in I,$$

则称 $f$ 是 $I$ 中的 $\alpha$ 阶 Hölder 函数，记为 $f \in C^\alpha(I)$，而如果存在常数 $L$，使得

$$|f(x)-f(y)| \le L|x-y|, \quad \forall x,y \in I,$$

则称 $f$ 为 $I$ 中的 Lipschitz 函数，记为 $f \in \text{Lip}(I)$。

容易证明 $Holder$ 函数在区间 $I$ 上一定是一致连续的。对于区间上不一致连续的函数，我们也有如下刻画：

设 $f$ 是定义在区间 $I$ 中的函数，则 $f$ 在 $I$ 中不一致连续当且仅当存在 $I$ 中的数列 $\{a_n\},\{b_n\}$，使得 $\{a_n - b_n\}$ 收敛于零，而 $\{f(a_n)-f(b_n)\}$ 不收敛于零，可以用反证法结合不一致连续的刻画推导出闭区间上的连续函数一定是一致连续的。

连续函数的积分

我们学习积分首先要忘掉所有前置的微积分的概念，从定义出发来学习，积分是可以单独定义出来的而不依赖微分或者导数，再不断进行推广覆盖，故我们首先来定义连续函数在闭区间上的积分，再通过定义来推导性质。前面我们已经知道连续函数在闭区间上一定是一致连续的，下面我们设 $f\in C^0[a,b]$，将区间 $[a,b]$ 等分为 $n$ 个小区间，$n+1$ 个分点为 $\left\{x_{i,n} = a + \frac{i}{n}(b-a)\right\}_{i=0}^n$，记

$$S_n(f,[a,b]) = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_{i,n})\frac{b-a}{n},\quad A_n(f,[a,b]) = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} f(x_{i,n}).$$

注意我们这里最开始对于积分的定义要求分点是等分的，我们可以证明上述的 $S_n(f,[a,b])$ 是 Cauchy 数列，从而收敛，于是我们称该极限为 $f$ 在 $[a,b]$ 中的积分，记为 $\int_a^b f(x)\,dx$

既然积分是极限定义的，我们容易根据 $S_n$ 的形式以及极限的性质知道积分的一些性质：线性叠加性质，保序性质。我们再特别介绍一个积分中值定理：设 $f,g \in C^0[a,b]$。如果 $g$ 不变号，则存在 $\xi \in [a,b]$，使得

$$\int_a^b f(x)g(x)\,dx = f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx.$$

具体证明借助最值定理和介值定理即可，最关键就是把积分是一个常数，不要觉得是动态的。通过定义，我们还有简单的变量替换公式：

设 $f \in C^0[a,b]$，则当 $\lambda > 0, \mu \in \mathbb{R}$ 时

$$\int_{a-\mu}^{b-\mu} f(x+\mu)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx; \quad \int_{a/\lambda}^{b/\lambda} f(\lambda x)\,dx = \frac{1}{\lambda}\int_a^b f(x)\,dx.$$

同样根据 $S_n$ 及定义容易证明。

在实际应用中，利用上述定义计算积分和推导性质都有一定困难，我们自然可以思考，上述的等分点是否可以改成不等分点，只要对距离加以控制，毕竟等分点在 $n$ 趋于无穷时，距离趋于零，不等分点，我们只要让每个 $n$ 对应的最大距离在 $n$ 趋于无穷时足够小即可，于是我们引入分割的定义，我们在 $[a,b]$ 中任取分点：$a=x_0<x_1<\cdots<x_l=b$，它们将区间 $[a,b]$ 分为 $l$ 个小区间，这些小区间连同分店构成了 $[a,b]$ 的一个分割，记为 $\pi:a=x_0<x_1<\cdots<x_l=b$，并且记分割 $\pi$ 的模为

$$||\pi||=\max\{x_{i+1}-x_i\mid i=0,1,\cdots,l-1\}$$

于是可以定义

$$S_\pi(f,[a,b])=\sum\limits_{i=0}^{l-1}f(x_i)(x_{i+1}-x_i)$$

我们可以容易证明，若 $\{\pi_n\}$ 为一列分割，且 $\lim\limits_{n\to\infty}||\pi_n||=0$，我们有：

$$\lim\limits_{n\to\infty}S_{\pi_n}(f,[a,b])=\int_a^bf(x)\,dx=\lim\limits_{n\to\infty}S_n(f,[a,b])$$

事实上上述的证明过程，我们可以通过估计 $S_{\pi_n}$ 和 $S_n$ 的误差来决定，找一个 $N$ 使得 $\forall\,n>N$，$S_{\pi_n}$ 和 $S_n$ 的所有小区间上任意函数值之差都小于 $\varepsilon$，通过辅助分割，即把 $\pi_n$ 和 $n$ 等分割的分店合在一起形成的新分割 $\pi'$，再分别估计 $S_n$ 和 $S_{\pi_n}$ 同 $S_{\pi'}$ 的差距即可得到前两者的差距，最后得到二者在 $n\to\infty$ 时是相等的。

通过上述分析，我们证明一件事，就是积分的分点可以不等距，只要分割的模最终是趋于零的，根据这个原理，我们可以推导如下的积分关于区间的可加性，这并不是一个平凡的结论如果根据积分的原始定义来看：

设 $f \in C^0[a,b], c \in (a,b)$，则

$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx.$$

但是我们分别通过两个区间的 $n$ 等分割来定义整个区间关于 $n$ 的一列分割后，可以知道：

$$S_{\pi_n}(f,[a,b])=S_n(f,[a,c])+S_n(f,[c,b])$$

其中 $x_n$ 为区间 $[a,c]$ 的第 $n$ 个等分点，易知 $\lim_{n\to\infty}||\pi_n||=0$，从而在上式中令 $n$ 趋于无穷即可得到积分关于区间的可加性，并且是可数可加的。

更一般地，设 $\pi$ 为 $[a,b]$ 的分割，在每个区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 中任取一点 $\xi_i$，记

$$S_{\pi,\xi}(f,[a,b])=\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)(x_{i+1}-x_i)$$

由于积分关于区间的可数可加性，即有 $\int_a^b f(x)\,dx=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x)\,dx$，又因为

$$\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)(x_{i+1}-x_i)-\sum\limits_{i=0}^{n-1}\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x)\,dx=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}(f(\xi_i)-f(x))\,dx$$

当分割的模小于一致连续性中 $\varepsilon$ 对应的 $\delta$ 时，有

$$|\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)(x_{i+1}-x_i)-\sum\limits_{i=0}^{n-1}\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x)\,dx|<\frac12(b-a)\varepsilon$$

如果有一列分割 $\{\pi_n\}$，其模收敛于0，可以推出

$$\lim_{n \to \infty} S_{\pi_n,\xi}(f,[a,b]) = \int_a^b f(x)\,dx.$$

由上述讨论我们便定义了最终的连续函数在闭区间上的积分版本，即

$$\int_a^bf(x)\,dx=\lim\limits_{||\pi||\to0}\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i,\quad \xi_i\in[x_{i-1},x_i]$$

因为 $f$ 是闭区间上的连续连续函数，所以可以证明右侧的极限一定是存在的，从而唯一。根据这个定义我们可以将其推广至后面要介绍的Riemann积分并且我们容易得出保序性质，并换种方法证明积分第一中值定理：设 $f,g \in C^0[a,b]$。如果 $g$ 不变号，则存在 $\xi \in [a,b]$，使得

$$\int_a^b f(x)g(x)\,dx = f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx.$$

我们再来看著名的微积分基本公式：Newton-Leibniz 公式。从上述定义中我们已经知道 $\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)(x_{i+1}-x_i)$ 可以视为连续函数 $f$ 在 $[a,b]$ 中积分的近似值，这是一个求和的式子，我们可以尝试将其转化为求差，用裂项相消法求和，为此我们需要寻找一个函数 $g$，使得 $f(\xi_i)(x_{i+1}-x_i)=g(x_{i+1}-g(x_i))$ 对任意 $i$ 成立，该式可以改写为

$$f(\xi_i)=\frac{g(x_{i+1})-g(x_i)}{x_{i+1}-x_i},\quad i=0,1,\dots,n$$

这就提示我们要找满足 $g'=f$ 的函数，此时 $g$ 称为 $f$ 的一个原函数。

为了证明微积分基本公式，我们需要先证明，若 $g\in C^1[a,b]$，则存在 $\xi\in[a,b]$，使得 $g'(\xi)=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}$，这可令 $h(x)=g(x)-\frac{g(b)-g(a)}{b-a}\cdot x$ 在 $a,b$ 两点的函数相同，且 $h(x)\in C^1[a,b]$ 推导出。

事实上，这里只要 $g\in C[a,b]$，且满足在 [a,b] 中可导，就有存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 成立。此证明实际上只要用导数的定义，该定理称为 Lagrange 中值定理。

知道了该结论我们可以证明如下的微积分基本公式：设 $g \in C^1[a,b]$，则 $\int_a^b g'(x)\,dx = g(b) - g(a)$， 注意此式右端常记为 $g(x)\big|_a^b$，证明过程主要看下面这个等式：

$$\int_a^bf(x)\,dx=\lim\limits_{||\pi||\to0}\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i,\quad \forall\,\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$$

我们只需要在每个 $[x_i,x_{i+1}]$ 取 $\xi_i$ 使得 $g'(\xi_i)(x_{i+1}-x_i)=g(x_{i+1})-g(x_i)$ 即可得证。

根据微积分基本公式我们容易证明如下的分部积分法以及换元积分法：

• 设 $f,g \in C^1[a,b]$，则

$$\int_a^b f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x)\big|_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx.$$

• 设 $\phi \in C^1[a,b]$，$f$ 在区间 $I \supset \phi([a,b])$ 中连续，则

$$\int_a^b f(\phi(x))\phi'(x)\,dx = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(y)\,dy$$

这里值得注意的是函数的条件，如分部积分要求两函数都是 $C^1$ 的，换元积分要求 $\phi$ 是 $C^1$ 的，$f$ 是连续的即可。

根据分部积分我们容易证明连续函数的积分第二中值定理：设 $f,g\in C[a,b]$，且 $g$ 在 $[a,b]$ 上单调，则存在 $\xi\in [a,b]$ 使得

$$\int_a^bf(x)g(x)\,dx=g(a)\int_a^\xi f(x)\,dx+g(b)\int_\xi^b f(x)\,dx$$

实际上由于积分和端点值无关，如果 $g$ 是单调递减的，不妨令 $g(b)$ 的值为零，则第二项就变为零，只有第一项，如果是单调递增的，不妨令 $g(a)$ 的值为零，则只剩下第二项。

Riemann 积分

前面我们定义了连续函数在闭区间上的积分，但是在实际应用中，涉及积分的函数有时并不连续，受上述连续函数积分定义的启发，我们设 $f$ 同样为闭区间上的函数，但不一定连续，我们可以根据上述定义来叙述 $f$ 的可积性和积分：

设 $f$ 如上， 如果存在实数 $I$, 使得任给 $\varepsilon > 0$, 均存在 $\delta > 0$, 当分割 $\pi$ 的模满足 $\|\pi\| < \delta$ 时, 均有

$$\left|\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i - I\right| < \varepsilon,\quad \forall\ \xi_i \in [x_{i-1},x_i],\ i = 1,\cdots,n,$$

则称 $f$ 在 $[a,b]$ 中 Riemann 可积，简称可积)，记为 $f \in R[a,b]$，$I$ 称为 $f$ 在 $[a,b]$ 中的 Riemann 积分，简称积分，记为

$$\int_a^b f(x)\,dx = I = \lim_{\|\pi\|\to 0^+} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i,$$

其中 $f$ 称为被积函数, $[a,b]$ 称为积分区间, $a,b$ 分别称为积分下限与积分上限。

易知连续函数在闭区间上也一定是Riemann可积的，因为前面已经证明了 $\lim\limits_{||\pi||\to0}\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i,\quad \forall\,\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$ 总是存在的，从而闭区间上的连续函数一定是 $Riemann$ 可积的且与最原始的连续函数积分值一致。

自然接下来我们就要探讨除了连续函数，还有什么函数是黎曼可积的，或者说探讨闭区间上函数黎曼可积的充分必要条件。

根据定义我们不难得出如果 $f\in R[a,b]$，那么 $f$ 必为 $[a,b]$ 中的有界函数，这只是必要条件，有界函数在闭区间上未必黎曼可积，从而以下我们只考虑在闭区间上哪些有界函数是可积的。

按照定义，积分是形如 $\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i$（我们称其为 $f$ 在 $[a,b]$ 的一个 Riemann 和）根据某变量不断变化形成的一个极限，而在研究一个变化量的极限是否存在时，我们可以考虑变化量之间的相对差距，根据 Cauchy 准则，我们会想到如果一个变化的量趋于某个极限时，其相对差距趋于零，反之亦然，我们可以将这种想法应用于黎曼和上，我们知道导致 Riemann 和变化的量有两个，一个是点的选取导致的黎曼和的差异，一个是不同分割导致的利曼和的差异，我们可以先分别分析这两个差异，再综合来看。

设 $f$ 是定义在 $[a,b]$ 上的有界函数. 任给 $[a,b]$ 的一个分割

$$\pi:\ a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b,$$

记

$$F_\pi = \left\{\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i \in \mathbb{R}\ \bigg|\ \xi_i \in [x_{i-1},x_i],\ i = 1,\cdots,n\right\}.$$

这说明，当 $f$ 可积时，任给 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，只要 $||\pi||<\delta$，就有 $d(F_{\pi})\leq2\varepsilon$ 成立，其中 $d(F_\pi)$ 表示集合 $F_\pi$ 的直径，它可以表示为

$$d(F_\pi) = \sup F_\pi - \inf F_\pi = \sum_{i=1}^n M_i\Delta x_i - \sum_{i=1}^n m_i\Delta x_i,$$

其中 $M_i,m_i$ 分别为 $f$ 在 $[x_{i-1},x_i]$ 中的上确界和下确界。从而我们知道 $d(F_\pi)$ 代表了分割 $\pi$ 对应的任意两个 $Riemann$ 和之间的最大差异。

接着我们再来看不同分割对应的黎曼和的差异，由特殊到一般我们先看如下的一个引理：

设 $f$ 如上， $\pi,\pi'$ 是 $[a,b]$ 的两个分割, 且 $\pi$ 的分点均为 $\pi'$ 的分点, 则任给 $S \in F_\pi$, $S' \in F_{\pi'}$, 均有

$$|S - S'| \le d(F_\pi).$$

具体证明省略，由这个引理我们可以得到下面的推论：

设 $f$ 如上, $\pi,\pi'$ 是 $[a,b]$ 的两个分割, 则任给 $S \in F_\pi$, $S' \in F_{\pi'}$, 均有

$$|S - S'| \le d(F_\pi) + d(F_{\pi'}).$$

证明只需要把两个分割形成的新分割当作一个桥梁再运用三角不等式即可。

通过上述的对于不同点和不同分割造成的黎曼和的差异，我们都通过 $d(F_\pi)$ 来进行了刻画，那么我们想要 $\lim\limits_{||\pi||\to0}\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i,\quad \forall\,\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$ 总是存在的话，实际上就等价于 $\lim\limits_{||\pi||\to0}d(F_\pi)=0$ 即可，当然证明也不是显然的，我们不探究细节证明，理解即可。

根据这个可积的充要条件，我们不难得出，如果 $f$ 为 $[a,b]$ 上的单调函数，那么它一定是可积的。

上述我们是利用了相对差距的思想刻画了黎曼可积的充要条件，关键在于 $d(F_\pi)$，实际上，我们也可以将其写成 $d(F_\pi)=S_\pi(f)-s_\pi(f)$，其中

$$S_\pi(f) = \sum_{i=1}^n M_i\Delta x_i,\quad s_\pi(f) = \sum_{i=1}^n m_i\Delta x_i,$$

我们称 $S_\pi(f)$ 为 $f$ 关于 $\pi$ 的 Darboux 上和，而 $s_\pi(f)$ 称为 Darboux 下和.

并且我们还有如下引理：

设分割 $\pi'$ 是从 $\pi$ 添加 $k$ 个分点得到的, 则有

$$\begin{aligned} S_\pi(f) &\ge S_{\pi'}(f) \ge S_\pi(f) - (M - m)k\|\pi\|, \\ s_\pi(f) &\le s_{\pi'}(f) \le s_\pi(f) + (M - m)k\|\pi\|, \end{aligned}$$

其中 $M,m$ 分别是 $f$ 的上确界和下确界. 特别地, 往给定的分割增加新的分点时, 下和不减, 上和不增.

从而可以证明对于任意两个分割 $\pi_1$ 和 $\pi_2$，均有 $s_{\pi_1}(f)\leq S_{\pi_2}(f)$ 成立，并且可以得到如下定理：

$$\lim_{\|\pi\|\to 0} S_\pi(f) = \inf_\pi S_\pi(f),\quad \lim_{\|\pi\|\to 0} s_\pi(f) = \sup_\pi s_\pi(f).$$

我们称 $\inf\limits_{\pi}S_\pi(f)$ 为 $f$ 在 $[a,b]$ 中的上积分，称 $\sup\limits_{\pi}s_\pi(f)$ 为 $f$ 在 $[a,b]$ 中的下积分，上下积分一定是存在的，这由 $f$ 有界可以推出。

由前面的定理我们知道，要看黎曼和是否收敛，关键看当分割的模趋于零时，$d(F_\pi)$ 是否趋于零，即看 $Darboux$ 上和与 $Darboux$ 下和的差是否趋于零。

给定分割 $\pi$, 有界函数 $f$ 在第 $i$ 个小区间中的下确界和上确界分别记为 $m_i$ 和 $M_i$, 称 $\omega_i = M_i - m_i$ 为 $f$ 在第 $i$ 个小区间中的振幅，于是就相当于看 $d(F_\pi)=S_\pi(f)-s_\pi(f)=\sum\limits_{i=1}^n\omega_i\Delta x_i$ 是否趋于零，而由于 $\lim\limits_{||\pi||\to0}S_\pi(f)$ 和 $\lim\limits_{||\pi||\to0}s_\pi(f)$ 都是存在的，所以只需要看上下积分是否相等即可。

又因为

$$s_\pi(f) \le \sup_{\pi'} s_{\pi'}(f) \le \inf_{\pi'} S_{\pi'}(f) \le S_\pi(f)$$

从而如果任给 $\varepsilon>0$，只要存在一个分割 $\pi$，使得 $d(F_\pi)=S_\pi(f)-s_\pi(f)=\sum\limits_{i=1}^n\omega_i\Delta x_i<\varepsilon$，那么上下积分就相等，从而 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上黎曼可积，这比 $\lim\limits_{||\pi||\to0}d(F_\pi)=0$ 更容易运用，$\lim\limits_{||\pi||\to0}d(F_\pi)=0$ 需要任意满足模小于某个值的分割都小于 $\varepsilon$，而此充要条件只需要一个即可。但分割的模比此分割的模小的 $d(F_{\pi'})$ 不一定都小于 $\varepsilon$，只不过一定存在一个 $\delta$，使得分割模小于它，差值小于 $\varepsilon$ 都成立。

我们回顾一下连续函数和单调函数为什么是可积的，前者是由于一致连续性导致的可以空着每个区间上的振幅都很小而小区间的总长度是固定的，后者是因为振幅的总和固定，而每一个小区间的长度很小，我们自然综合考虑振幅和区间长度这两个因素可以得出如下可积的充要条件，即 Riemann 定理：

设 $f$ 为 $[a,b]$ 中的有界函数, 则 $f \in R[a,b] \iff$ 任给 $\varepsilon,\eta > 0$, 存在 $[a,b]$ 的某个分割 $\pi$, 使得

$$\sum_{\{i\mid \omega_i \ge \eta\}} \Delta x_i < \varepsilon.$$

根据这个定理我们可以推出若有界函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上只有有限个间断点，那么 $f$ 在该区间是可积的。

有了黎曼可积函数的定义和可积的充要条件，我们可以推导出下列性质：

• 设 $[\alpha,\beta] \subset [a,b]$, 如果 $f$ 在 $[a,b]$ 中可积, 则 $f$ 在 $[\alpha,\beta]$ 中也可积
• 设 $c \in (a,b)$, 如果 $f$ 在 $[a,c]$ 及 $[c,b]$ 中都可积, 则 $f$ 在 $[a,b]$ 中也可积, 且 $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx.$

第二个性质需要知道，一旦在 $[a,b]$ 上可积，那么极限是存在，再利用子列极限等于该极限即可，子列即分别取两个区间的分割当作 $[a,b]$ 的分割。

同理，我们可以导出黎曼可积函数的四则运算性质、绝对值性质和保序性质。

Riemann 定理告诉我们，可积函数振幅较大的地方不是很多，那么我们可以如何更准确地对其进行刻画呢？于是我们引入零测集的概念：设 $A \subset \mathbb{R}$, 如果任给 $\varepsilon > 0$, 均可找到至多可数个开区间 $\{I_i\}$, 使得 $A$ 包含于这些区间之并, 且

$$\sum_{i \leq n} |I_i| \leq \varepsilon,\quad \forall n \geq 1,$$

即这些区间的长度之和不超过 $\varepsilon$, 则称 $A$ 为零测集。

需要注意的是上述说的是可数个，不是有限个。根据此定义，我们可以容易证明可数集是零测集，具体通过 $q<1$ 的 $n$ 次幂求和有限可证，根据此方法，我们还可以证明可数个零测集之并仍为零测集。

前面在连续函数的部分我们已经介绍过间断点，并知道 $f$ 在 $[a,b]$ 中的全体间断点 $D_f$ 可以表示为

$$D_f=\bigcup_{n=1}^{\infty}D_f(\frac1n),\quad D_f(\frac1n)=\{x\in[a,b]\mid \omega_f(x)\geq\frac1n\}$$

我们断言，若 $f$ 为 $[a,b]$ 上的有界函数，则 $f\in R[a,b]$ 当且仅当其间断点集 $D_f$ 为零测集，该定理称为 Lebesgue 定理，要证明这个定理，我们先来证明如下的 Lebesgue 数引理：设 $\{U_\alpha\}_{\alpha \in \Gamma}$ 为 $[a,b]$ 的开覆盖, 则存在 $\lambda > 0$, 使得长度不超过 $\lambda$ 的任何子区间 $I \subset [a,b]$ 必定完全包含于某个 $U_\alpha$ 中，$\lambda$ 称为 $\{U_\alpha\}_{\alpha \in \Gamma}$ 的 Lebesgue 数。

我们容易通过闭区间上的数列必有收敛子列结合反证法进行证明，根据这个引理，我们来证明如果 $f$ 的间断点集为零测集，那么 $f$ 是可积的：

• 任给 $\varepsilon,\eta>0$，由于 $D_f$ 为零测集可知，存在开区间 $\{(\alpha_j,\beta_j)\}_{j\geq1}$，使得

$$D_f\subset\bigcup_{j\geq1}(\alpha_j,\beta_j),\quad \sum_{j\geq1}(\beta_j-\alpha_j)<\varepsilon.$$

• 而当 $x\in[a,b] \textbackslash \bigcup_{j\geq1}(\alpha_j,\beta_j)$ 时，$f$ 在 $x$ 处连续，故存在包含 $x$ 的开区间 $I_x$，使得 $f$ 在 $I_x$ 上振幅小于 $\eta$.
• 根据 Lebesgue 数引理，存在 $[a,b]$ 的分割，使得每一个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 必含于某个 $(\alpha_j,\beta_j)$ 或 $I_x$ 之中，而此时有

$$\sum_{\{i \mid \omega_i \geq \eta\}} \Delta x_i \leq \sum_{j \geq 1} (\beta_j - \alpha_j) < \varepsilon,$$

• 从而由 Riemann 定理可知 $f\in R[a,b]$.

而如果我们已知 $f\in R[a,b]$，想要推 $D_f$ 为零测集，实际上只需要证明 $D_f(\frac1n)$ 为零测集即可，从而只需要证明当 $\delta>0$ 固定时，$D_f(\delta)$ 为零测集即可：设 $f \in R[a,b]$，固定 $\delta > 0$，根据 Riemann 定理, 任给 $\varepsilon > 0$, 存在 $[a,b]$ 的分割

$$\pi: a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$$

使得

$$\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i < \varepsilon\delta/2$$

如果 $x \in D_f(\delta) \cap (x_{i-1},x_i)$，则显然 $\omega_i \geq \omega_f(x) \geq \delta$，这说明 $\sum_{\{i \mid D_f(\delta) \cap (x_{i-1},x_i) \neq \emptyset\}} \Delta x_i < \varepsilon/2$，显然

$$D_f(\delta) \subset \bigcup_{\{i \mid D_f(\delta) \cap (x_{i-1},x_i) \neq \emptyset\}} (x_{i-1},x_i) \bigcup_{i=0}^n \left(x_i - \frac{\varepsilon}{4(n+1)}, x_i + \frac{\varepsilon}{4(n+1)}\right),$$

且

$$\sum_{\{i \mid D_f(\delta) \cap (x_{i-1},x_i) \neq \emptyset\}} \Delta x_i + \frac{2\varepsilon}{4(n+1)}(n+1) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,$$

由定义即知 $D_f(\delta)$ 为零测集。从而可以证明区间不是零测集，否则区间 $[a,b]$ 上的任何有界函数都是可积的。

下面我们进一步探讨黎曼积分的性质，前面我们通过定义证明了下述结果：

• 设 $[\alpha,\beta] \subset [a,b]$, 如果 $f$ 在 $[a,b]$ 中可积, 则 $f$ 在 $[\alpha,\beta]$ 中也可积
• 设 $c \in (a,b)$, 如果 $f$ 在 $[a,c]$ 及 $[c,b]$ 中都可积, 则 $f$ 在 $[a,b]$ 中也可积, 且 $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx.$

现在有了 $Lebesgue$ 定理来看上述是显然的，不过第二个命题的积分等式还是由可积性再根据定义来推导。

然后我们介绍一个变上限积分，设 $f\in R[a,b]$，记 $F(x)=\int_a^xf(t)\,dt,\quad x\in[a,b]$，则易知 $F\in Lip[a,b]$，且当 $f$ 在 $x_0$ 处连续时，由上述的第一个命题，即积分关于区间的可加性可知

$$F(x)=F(x_0)+\int_{x_0}^xf(t)\,dt=F(x_0)+f(x_0)(x-x_0)+\int_{x_0}^x[f(t)-f(x_0)]\,dt$$

因为 $f$ 在 $x_0$ 连续，任给 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $|t-x_0|<\delta$ 时，$|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon$，于是当 $|x-x_0|<\delta$ 时，$|R(x,x_0)|<\varepsilon|x-x_0|$，从而 $R(x,x_0)=o(x-x_0)\,(x\to x_0)$，这说明 $F$ 在 $x_0$ 处可导，且 $F'(x_0)=f(x_0)$.

同样 $Riemann$ 可积函数也有保序性质和如下的积分第一中值定理：设 $f,g \in R[a,b]$, 且 $g$ 不变号, 则 $\int_a^b f(x)g(x)dx = \mu \int_a^b g(x)dx$， 其中 $\mu$ 介于 $f$ 的上下确界之间，特别地当 $f$ 连续时存在 $\xi \in [a,b]$， 使得 $\mu = f(\xi)$ 成立。

为了分析对连续函数成立的微积分基本公式，分部积分和换元积分对黎曼可积函数是否成立，我们可以先用简单的可积函数去逼近一般的可积函数，我们直接给出如下两个命题，具体证明由定义导出：

• 阶梯逼近

设 $f \in R[a,b]$，则存在两列阶梯函数 $\{\varphi_n\},\{\psi_n\}$, 使得

$$\varphi_n \leq f \leq \psi_n,\quad \int_a^b [\psi_n(x) - \varphi_n(x)] dx < \frac{1}{n},$$

且每一个 $\varphi_n,\psi_n$ 均介于 $f$ 的上下确界之间，此外任给 $g \in R[a,b]$，均有

$$\lim_{n \to \infty} \int_a^b \varphi_n(x)g(x)dx = \lim_{n \to \infty} \int_a^b \psi_n(x)g(x)dx = \int_a^b f(x)g(x)dx.$$

• 分段线性逼近

设 $f \in R[a,b]$，则存在一列连续的分段线性函数 $f_n$, 使得 $f_n(a) = f(a), f_n(b) = f(b)$，以及

$$\lim_{n \to \infty} \int_a^b |f_n(x) - f(x)| dx = 0,$$

且每一个 $f_n$ 均介于 $f$ 的上下确界之间，此外任给 $g \in R[a,b]$，均有

$$\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x)g(x)dx = \int_a^b f(x)g(x)dx.$$

根据上述两个逼近方法我们可以推导出如下的 $Riemann-Lebesgue$ 引理：

设 $f \in R[a,b]$，则

$$\lim_{\lambda \to +\infty} \int_a^b f(x)\sin\lambda x dx = 0,\quad \lim_{\lambda \to +\infty} \int_a^b f(x)\cos\lambda x dx = 0.$$

下面我们对连续函数积分中的微积分基本公式，分部积分和换元积分推广至黎曼积分当中。

首先根据 Lagrange 中值定理，同连续函数的证明一致，我们容易得出下述的微积分基本公式：设 $F$ 在 $[a,b]$ 中可导且 $f = F' \in R[a,b]$，则

$$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a). \tag{1}$$

实际上我们对 $F$ 的要求可以稍微降低一点，只要 $F$ 连续，至多在有限个点处不可导，且 $F'\in R[a,b]$，则定理结论仍然成立，这只要将区间分成有限个小区间，然后再每一个小区间中运用上述定理即可得证。

于是我们可以容易推出下述版本的分部积分和换元积分：

• 设 $f,g$ 在 $[a,b]$ 中可导且导函数可积，则 $\int_a^b f(x)g'(x)dx = \left. f(x)g(x) \right|_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)dx.$

• 设 $f \in C^0[a,b]$, $\varphi$ 在 $[\alpha,\beta]$ 中可导且导函数可积，如果 $\varphi([\alpha,\beta]) \subset [a,b]$， 则 $\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)dx.$

当然我们其实也可以稍微降低点要求，通过前面讲述的阶梯逼近或分段线性逼近得出下述版本的分部积分和换元积分：

• 设 $f,g \in R[a,b]$，$C_1,C_2 \in \mathbb{R}$，当 $x \in [a,b]$ 时, 记

$$F(x) = \int_a^x f(t)dt + C_1,\quad G(x) = \int_a^x g(t)dt + C_2$$

则有

$$\int_a^b F(x)g(x)dx = \left. F(x)G(x) \right|_a^b - \int_a^b f(x)G(x)dx.$$

• 设函数 $g \in R[\alpha,\beta]$, $c \in [\alpha,\beta]$，当 $x \in [\alpha,\beta]$ 时，记 $G(x) = \int_c^x g(t)dt$，设 $f$ 在区间 $G([\alpha,\beta])$ 中可积，则 $f(G(t))g(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 中也可积，且

$$\int_\alpha^\beta f(G(t))g(t)dt = \int_{G(\alpha)}^{G(\beta)} f(x)dx.$$

这里的 $F,G$ 就不一定是处处可导的。

同样我们还有推广的积分第二中值公式：

设 $f \in R[a,b]$，$g$ 为 $[a,b]$ 中的单调函数，则存在 $\xi \in [a,b]$，使得

$$\int_a^b f(x)g(x)dx = g(a)\int_a^\xi f(x)dx + g(b)\int_\xi^b f(x)dx.$$

设 $f \in R[a,b]$，$g$ 为非负函数

• 果 $g$ 在 $[a,b]$ 中单调递减，则存在 $\zeta \in [a,b]$ 使得

$$\int_a^b f(x)g(x)dx = g(a)\int_a^\zeta f(x)dx.$$

• 如果 $g$ 在 $[a,b]$ 中单调递增，则存在 $\eta \in [a,b]$ 使得

$$\int_a^b f(x)g(x)dx = g(b)\int_\eta^b f(x)dx.$$

广义积分

一开始我们定义了连续函数在闭区间上的积分，而后又进行推广定义了黎曼积分，分析有界函数在闭区间能否积分，一个自然的问题就是对于无界函数和一般的区间，我们可以怎么完备地去定义积分，我们都知道积分实际上可以理解为函数图像在某区域的面积，那么对于无界函数和一般的区间，我们可以研究此时函数图像的面积是否有界。

我们先定义当区间形如 $[a,+\infty]$ 这类无界区间时函数满足什么条件才能积分：

设 $f$ 是定义在 $[a,+\infty)$ 中的函数，如果任给 $\alpha > a$, 均有 $f \in R[a,\alpha]$，且极限 $\lim_{\alpha \to +\infty} \int_a^\alpha f(x)dx$ 存在 (且有限)，则称 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 中的无穷积分存在或收敛，记为

$$\int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{\alpha \to +\infty} \int_a^\alpha f(x)dx$$

否则就称无穷积分 $\int_a^{+\infty} f(x)dx$ 不存在或发散。

也就是说我们将无穷积分定义为函数 $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ 在 $x\to\infty$ 时的极限，从而根据函数极限的性质我们有关于无穷积分的 $Cauchy$ 准则：$f$ 在 $[a,+\infty]$ 中无穷积分收敛当且仅当任给 $\varepsilon>0$，存在 $M=M(\varepsilon)$，使得当 $\beta>\alpha>M$ 时，$|\int_\alpha^\beta f(x)\,dx|<\varepsilon$ 成立。

上述定义和准则同理可以应用于区间 $(-\infty,a]$ 和 $(-\infty,+\infty)$ 上。

下面我们再定义当函数在某有界区间是无界时函数满足什么条件才能积分：

设函数 $f$ 在任何区间 $[a',b]$ ($a < a' < b$) 中均 Riemann 可积，如果极限 $\lim_{a' \to a^+} \int_{a'}^b f(x)dx$ 存在 (且有限), 则称 $f$ 在 $(a,b]$ 中的瑕积分存在或收敛，记为

$$\int_a^b f(x)dx = \lim_{a' \to a^+} \int_{a'}^b f(x)dx,$$

否则就称瑕积分 $\int_a^b f(x)dx$ 不存在或发散。

如果一个函数的积分既存在无穷积分又存在瑕积分，则把上面两种积分结合起来处理，这样的函数的积分统称广义积分。由于广义积分可以看作黎曼积分的极限，自然广义积分具有和黎曼积分类似的性质和运算法则，例如下述的两个性质：

假设积分限 $a,b,c$ 等可以取 $-\infty$ 或 $+\infty$，则

• 如果 $f$ 在 $[a,b]$, $[b,c]$ 中的积分存在，则 $f$ 在 $[a,c]$ 中的积分也存在, 且

$$\int_a^c f(x)dx = \int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx;$$

• 如果 $f,g$ 在 $[a,b]$ 中的积分存在, $\lambda,\mu \in \mathbb{R}$, 则 $\lambda f + \mu g$ 在 $[a,b]$ 中的积分也存在, 且

$$\int_a^b [\lambda f(x) + \mu g(x)]dx = \lambda \int_a^b f(x)dx + \mu \int_a^b g(x)dx.$$

对于广义积分的收敛判别按照定义在实际操作中不是那么方便，我们也有相应的方法但这里不加赘述，具体思想与级数收敛类似，这里我们主要整理积分框架。

回顾上面的广义积分的定义，实际上我们在做推广的时候默认了一个天然的求和顺序，我们知道有界函数在闭区间上的积分如果存在，那么求和顺序重排对积分是没有影响的，因为它一定是绝对可积的，但是对于广义积分来说，$f$ 可积，$|f|$ 未必可积，从而如果我们改变 $f$ 积分时的求和顺序，那么它可以收敛到任意实数，与数项级数的重排类似。也就是说我们的这个广义积分的定义也存在一定的瑕疵。

上述如果 $|f|$ 积分收敛，则称 $f$ 的积分绝对收敛，如果 $f$ 积分收敛但 $|f|$ 积分发散，则称 $f$ 的积分条件收敛。

重积分

首先不妨从二元函数在矩形上的积分谈起，设 $[a,b]$ 和 $[c,d]$ 为 $\mathbb{R}$ 上的区间，则 $I=[a,b]\times [c,d]$ 为 $\mathbb{R}^2$ 上的矩形，定义其直径 $d(I)=\sqrt{(b-a)^2+(d-c)^2}$，定义其面积 $\nu(I)=(b-a)(d-c)$，设这两个区间有分割：

$$\pi_1: a = x_0 < x_1 < \dots < x_m = b,\quad \pi_2: c = y_0 < y_1 < \dots < y_n = d,$$

则直线 $x = x_i$ ($0 \le i \le m$) 和 $y = y_j$ ($0 \le j \le n$) 将 $I$ 分成 $mn$ 个小矩形

$$I_{ij} = [x_{i-1}, x_i] \times [y_{j-1}, y_j],\quad 1 \le i \le m,\ 1 \le j \le n.$$

这些区间的分点连同小矩形称为 $I$ 的一个分割，记为 $\pi=\pi_1\times\pi_2$，并且我们定义该分割的模为 $||\pi||=\max\limits_{i,j}d(I_{ij})$。

有了分割及其模的定义，我们就可以定义矩形中二元函数的积分如下：

假设 $f: I \to \mathbb{R}$ 为矩形 $I$ 中定义的函数，如果存在实数 $\alpha$, 使得任给 $\varepsilon > 0$, 均存在 $\delta > 0$, 当 $\|\pi\| < \delta$ 时, 有

$$\left| \sum_{i,j} f(\xi_{ij}) \nu(I_{ij}) - \alpha \right| < \varepsilon,\quad \forall \xi_{ij} \in I_{ij},$$

则称 $f$ 在 $I$ 中 Riemann 可积，简称可积。$\alpha$ 称为 $f$ 在 $I$ 中的积分，记为 $\alpha = \int_I f = \iint_I f(x,y)\,dxdy.$

上述定义等价于说黎曼和当分割的模趋于零时极限存在，与一元函数类似，$f$ 在 $I$ 上黎曼可积的必要条件为 $f$ 是有界函数，并且我们记 $M_{ij}=\sup_{p\in I_{ij}}f(p)$，$m_{ij}=\inf_{p\in I_{ij}}f(p)$，并令

$$S(\pi) = S(\pi,f) = \sum_{i,j} M_{ij}\nu(I_{ij}),\quad s(\pi) = s(\pi,f) = \sum_{i,j} m_{ij}\nu(I_{ij}),$$

其中 $M_{ij} = \sup_{I_{ij}} f$， $m_{ij} = \inf_{I_{ij}} f$，$S(\pi)$ 和 $s(\pi)$ 分别称为 $f$ 关于 $\pi$ 的 $Darboux$ 上和与 $Darboux$ 下和，并且我们同样令 $\omega_{ij}=M_{ij}-m_{ij}$，称为 $f$ 在小矩形 $I_{ij}$ 上的振幅，于是我们有 $S(\pi)-s(\pi)=\sum \omega_{ij}\nu(I_{ij})$。

并且我们还有如下加细定义和定理：

如果 $[a,b]$ 的分割 $\pi_1'$ 是由 $\pi_1$ 通过添加分点得到, $[c,d]$ 的分割 $\pi_2'$ 是由 $\pi_2$ 通过添加分点得到，则称 $[a,b] \times [c,d]$ 的分割 $\pi' = \pi_1' \times \pi_2'$ 是 $\pi = \pi_1 \times \pi_2$ 的一个加细，如果 $\pi'$ 是 $\pi$ 的加细, 则

$$s(\pi) \le s(\pi') \le S(\pi') \le S(\pi),$$

即分割加细后下和不减，上和不增。

通过构造两个分割的并我们也容易证明，对于 $I$ 的任何两个分割 $\pi^1,\pi^2$，均有 $s(\pi^1)\leq S(\pi^2)$ 成立，也就是说 $S(\pi)$ 存在下确界，$s(\pi)$ 存在上确界，我们记 $S(f)=\inf_{\pi}S(\pi),s(f)=\sup_{\pi}s(\pi)$，分别称为 $f$ 在 $I$ 中的上积分和下积分。

对于矩形 $I$ 中的有界函数 $f$，我们有如下的 $Darboux$ 定理：$\lim_{||\pi||\to 0}S(\pi)=S(f)$，$\lim_{||\pi||\to 0}s(\pi)=s(f)$，证明要点有二，一个是首先由确界的刻画，任给 $\varepsilon>0$，存在分割 $\pi'$，使得 $S(\pi')<S(f)+\varepsilon$，第二个就是我们将这个分割的矩形的每条边向内缩 $\delta$ 距离得到 $I_{ij}^\delta$，而这个 $\delta$ 的取值要使得 $J_\delta=I-\bigcup I_{ij}^\delta$ 的体积小于 $\varepsilon$，现在我们对于任意分割 $||\pi||<\delta$，容易知道该分割的每个小矩形，要么完全含于 $J_\delta$，要么完全含于分割 $\pi'$ 的某个开矩形之内，也有可能同时成立，于是我们有如下估计：设 $|f|\leq M$，

$$S(f)\leq S(\pi)\leq M\nu(J_\delta)+S(\pi')\leq (M+1)\varepsilon+S(f)$$

这里实际上是对每个矩形上的 $M_{ij}$ 都算上了两种情况，特别如果第二种情况对于任意小矩形都成立，可以认为 $\pi$ 是 $\pi'$ 的一个加细。通过如上估计，我们就证明了 $\lim_{||\pi||\to 0}S(\pi)=S(f)$，另一个同理。

有了该定理，我们有如下有界函数可积的充要条件，设 $f$ 为 $I$ 中的有界函数，则下列条件等价：

• $f$ 在 $I$ 中 Riemann 可积
• $f$ 在 $I$ 中的上积分和下积分相等
• $\lim_{\|\pi\| \to 0} \sum_{i,j} \omega_{ij}\nu(I_{ij}) = 0$，其中 $\omega_{ij} = M_{ij} - m_{ij}$
• 任给 $\varepsilon > 0$, 存在 $I$ 的某个分割 $\pi$, 使得 $S(\pi) - s(\pi) = \sum_{i,j} \omega_{ij}\nu(I_{ij}) < \varepsilon$.

以及 $Riemann$ 定理：设 $f$ 为 $I$ 中定义的有界函数，则 $f$ 可积当且仅当任给 $\varepsilon, \eta > 0$, 存在 $I$ 的分割 $\pi$, 使得

$$\sum_{\{(i,j)\mid \omega_{ij} \ge \eta\}} \nu(I_{ij}) < \varepsilon.$$

和 $Lebesgue$ 定理：设 $f$ 为矩形 $I$ 中定义的有界函数，则 $f$ 可积 $\iff$ $f$ 的间断点集为零测集。

这里我们设 $f: A \to \mathbb{R}$ 为有界函数, $x \in A$，$f$ 在 $x$ 处的振幅定义为

$$\omega(f,x) = \lim_{r \to 0^+} \sup\left\{ |f(x_1) - f(x_2)| : x_1, x_2 \in B_r(x) \cap A \right\}.$$

易见，$f$ 在 $x$ 处连续当且仅当 $\omega(f,x) = 0$，再设 $\eta > 0$，记

$$D_\eta = \{ x \in A \mid \omega(f, x) \ge \eta \}$$

则 $f$ 的间断点（不连续点）全体为

$$D_f = \bigcup_{n=1}^\infty D_{\frac{1}{n}}.$$

注意这里零测集的定义和一维是一致的，只不过把区间变成了矩形。

上述我们研究了二元函数在矩形上的可积性问题，我们我们想推广到一般集合上的可积性，那么我们在什么样的集合上探讨积分才是有意义的呢，我们引入可求面积集的概念：设 $A\subset \mathbb{R}^2$ 为平面有界点集，特征函数 $\chi_A:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ 定义为 $\chi_A(x)=\begin{cases}1,\quad x\in A\\0,\quad x\notin A\end{cases}$，设 $I$ 为包含 $A$ 的矩形，如果 $\chi_A$ 在 $I$ 上可积，则称 $A$ 为可求面积集，其面积 $\nu (A)$ 定义为 $\chi_A$ 在 $I$ 中的积分。容易证明有界集合 $A$ 是否可求面积以及面积的大小与定义种矩形 $I$ 的选取无关，只需要以两个矩形的交矩形为桥梁根据矩形的边界为零测集，得出可积性与 $I$ 的选取无关，如果可积，再选取分割的模趋于零的子列即可得到积分值，这个子列的选取只需要分别在交矩形的分割上构建其他两个矩形的分割即可。

上述我们容易看出特征函数 $\chi_A$ 的间断点集为 $A$ 的边界 $\partial A$，从而 $A$ 可求面积当且仅当 $\partial A$ 为零测集。特别地，如果 $A$ 可求面积，则其闭包也可求面积。有了这些概念我们就可以定义函数在可求面积集上的积分：设 $A$ 是可求面积的有界集合，$f: A \to \mathbb{R}$ 为 $A$ 中定义的有界函数，将 $f$ 零延拓为 $\mathbb{R}^2$ 中的函数 $f_A$，如果 $f_A$ 在包含 $A$ 的 $I$ 中可积，则称 $f$ 在 $A$ 中可积，其积分定义为 $f_A$ 在 $I$ 中的积分，即

$$\int_A f = \int_I f_A$$

同样的这个定义也和矩形 $I$ 的选取无关，具体证明与上面的类似。从而 $f$ 在 $A$ 中可积当且仅当 $f$ 在 $A$ 的间断点为零测集。

上述我们就定义了二元函数的黎曼积分，事实上对于多元函数有完全类似的讨论，就不过多赘述。下面我们研究多元函数积分的基本性质。

设 $A\subset \mathbb{R}^n$ 为可求容积集，$f,g$ 在 $A$ 中可积，则二者在 $A$ 中的间断点集为零测集，从而易知 $\lambda f+\mu g$ 在 $A$ 中的间断点集也为零测集从而可积，有了可积性选取合适的取值点即可得到 $\int_A(\lambda f+\mu g)=\lambda\int_A f+\mu\int_Ag$，并且还有 $fg$ 在 $A$ 中也可积。

有了上述积分的运算性质，我们知道，如果 $f\geq g$，那么 $f-g\geq0$，那么 $\int_A(f-g)\geq 0$ 成立，则 $\int_A f\geq \int_A g$ 成立，从而根据 $-|f|\leq f\leq |f|$，可知 $|\int_A f|\leq \int_A |f|$.

根据上述的保序性质我们容易证明多元函数的积分中值定理：设 $A$ 为可求容积的有界集合，$f,g$ 为 $A$ 中的可积函数，如果 $g$ 在 $A$ 中不变号，则存在 $\mu \in \mathbb{R}$，使得

$$\int_A fg = \mu \int_A g,$$

其中 $\inf_A f \le \mu \le \sup_A f$。

如果 $A$ 为可求容积的连通闭集，$f$ 为 $A$ 上的连续函数，那么 $f$ 可以取到 $\mu$ 值。

我们再来拓展一下可求容积集的基本性质，如果有界集合 $A$ 可求容积，$I$ 为矩形，且 $A\subset I$，那么我们知道 $\int_I (1-\chi_A)$ 存在，而 $1-\chi_A$ 在 $I$ 上可以视为 $I\textbackslash A$ 的特征函数，从而 $\chi_{I\textbackslash A}$ 在 $I$ 上可积，从而 $I\textbackslash A$ 可求容积，并且 $\nu(I\textbackslash A)=\int_I \chi_{I\textbackslash A}=\int_I(1-\chi_A)=\nu(I)-\nu(A)$，并且若 $A,B$ 均可求容积，由于 $\chi_{A\cap B}=\chi_A\chi_B$ 得出 $A\cap B$ 可求容积，再由 $\chi_{A\cup B}=\chi_A+\chi_B-\chi_{A\cap B}$，可知 $A\cup B$ 可求容积，并且可以得到 $\nu(A\cup B)=\nu(A)+\nu(B)-\nu(A\cap B)$。从而我们还有如果 $A_1,\cdots,A_n$ 为两两不交的有限个可求容积集，$A=\bigcup A_i$ 也为可求容积集，则如果 $f$ 在 $A_i$ 上可积，那么 $f$ 在 $A$ 上也可积，并且积分值为各部分积分之和，其证明选取一个包含 $A$ 的矩形，根据有限个零测集仍为零测集得到可积性，再根据函数的延拓得积分等式。注意这里只有有限可加性，没有可数可加性。

上述我们定义了多元函数的积分，对于可积性有了较为清晰的认知，但是对于如何计算多元函数的积分如果单纯按照定义来实操性不强，为此下面我们介绍多元函数积分计算的方法。

同样我们先研究二元函数在矩形上的积分，设 $f(x,y)$ 为矩形 $I=[a,b]\times [c,d]$ 上的有界函数，对于每一个固定的 $x\in [a,b]$，$f(x,y)$ 可以视为区间 $[c,d]$ 中关于 $y$ 的函数，它在 $[c,d]$ 中的下积分和上积分分别记为 $\varphi(x)$ 和 $\psi(x)$，根据 $f(x,y)$ 的有界性，易得 $\varphi(x)$ 和 $\psi(x)$ 均为有界函数，且 $\phi(x)\leq \psi(x)$ 在 $[a,b]$ 上恒成立。下面我们对其进行分析，假设 $f$ 在 $I$ 中可积，用记号 $\pi_1, \pi_2$ 分别表示 $[a,b]$ 和 $[c,d]$ 的分割：

$$\pi_1: a = x_0 < x_1 < \dots < x_m = b,\quad \pi_2: c = y_0 < y_1 < \dots < y_n = d,$$

$I$ 的相应分割记为 $\pi = \pi_1 \times \pi_2$，因为 $f \in R(I)$，故任给 $\varepsilon > 0$, 存在 $\delta > 0$，当 $\|\pi_1\|, \|\pi_2\| < \delta$ 时

$$\int_I f - \varepsilon < \sum_{ij} f(\xi_{ij}) \nu(I_{ij}) < \int_I f + \varepsilon,\quad \forall \xi_{ij} \in I_{ij}.$$

我们任取 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i](i=1,2,\cdots ,m)$，于是有

$$\int_I f-\varepsilon<\sum_{i=1}^m\Delta x_i\sum_{j=1}^n \inf _{\eta\in[y_{j-1},y_j]}f(\xi_i,\eta)\Delta y_j<\int_I f+\varepsilon\\ \int_I f-\varepsilon<\sum_{i=1}^m\Delta x_i\sum_{j=1}^n \sup _{\eta\in[y_{j-1},y_j]}f(\xi_i,\eta)\Delta y_j<\int_I f+\varepsilon$$

而 $\sum_{j=1}^n \inf _{\eta\in[y_{j-1},y_j]}f(\xi_i,\eta)\Delta y_j$ 是 $f(\xi_i,y)$ 在 $[c,d]$ 上的 $Darboux$ 下和，$\sum_{j=1}^n \sup _{\eta\in[y_{j-1},y_j]}f(\xi_i,\eta)\Delta y_j$ 是 $f(\xi_i,y)$ 在 $[c,d]$ 上的 $Darboux$ 上和，从而有

$$\sum_{j=1}^n \inf _{\eta\in[y_{j-1},y_j]}f(\xi_i,\eta)\Delta y_j\leq \varphi(\xi_i)\\ \sum_{j=1}^n \sup _{\eta\in[y_{j-1},y_j]}f(\xi_i,\eta)\Delta y_j\geq \psi(\xi_i)$$

上述对于任意 $i$ 成立，再结合 $\varphi(x)\leq \psi(x)$，得到

$$\int_I f - \varepsilon \le \sum_{i=1}^m \varphi(\xi_i)\Delta x_i \le \sum_{i=1}^m \psi(\xi_i)\Delta x_i \le \int_I f + \varepsilon.$$

从而得到 $\varphi$ 和 $\psi$ 在 $[a,b]$ 上均可积，且积分等于 $f$ 在 $I$ 上的积分。

从而如果 $f(x,y)$ 在矩形 $I$ 中可积，且对于每一个 $x\in[a,b]$，关于 $y$ 的函数 $f(x,y)$ 在 $[c,d]$ 中均可积，则有 $\varphi(x)=\psi(x)=\int_c^d f(x,y) \,dy$，从而 $\int_I f=\int_a^b dx\int_c^d f(x,y)\,dy$ 成立，同理如果对于每一个 $y\in[c,d]$，关于 $x$ 的函数 $f(x,y)$ 在 $[a,b]$ 中可积，则 $\int_I f=\int_c^ddy\int_a^b f(x,y)\,dx$ 成立

从而还有若 $f(x,y)$ 为矩形 $I$ 上的连续函数，易知 $f$ 一定可积，且 $f(x,y)$ 不论关于 $x$ 还是 $y$ 的函数均可积，从而有 $\int_I f=\int_a^b dx\int_c^d f(x,y)\,dy=\int_c^ddy\int_a^b f(x,y)\,dx$，该式最左边称为重积分，右边的两个称为累次积分，同理其他多元函数在矩形上的积分也可以在一定条件下化为累次积分。

上面我们分析了多元函数在矩形上的重积分可以化为累次积分，那么对于一般可求容积集上的积分呢，根据之前的想法，这样的推广往往是进行零延拓到矩形上分析，我们设 $A\subset \mathbb{R}^2$ 为可求面积的有界集合，$f$ 为 $A$ 上的有界连续函数，设 $A$ 在 $x$ 上的垂直投影为 $I$，若对于每一点 $x\in I$，$A_x=\{y\in \mathbb{R}\mid (x,y)\in A\}$ 均为区间，则有 $\int_A f=\int_I dx\int_{A_x}f(x,y)\,dy$，对于 $A_y$ 同理有这样的结论。值得注意的是，这里关于 $A_x$ 和 $I$ 积分变量遵循从小到大即按照坐标轴正方向，有时候我们在将累次积分化为重积分时需要注意这个细节。

假设 $y_1(x)\leq y_2(x)$ 为 $[a,b]$ 上的连续函数，考虑有界集合 $A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y_1(x)\leq y\leq y_2(x),a\leq x\leq b\}$，易知 $A$ 可求面积，且 $A_x$ 对任意 $x$ 要么为区间要么为空集，如果 $f$ 在 $A$ 上可积，且对任意 $x\in[a,b]$，$\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\,dx$ 均存在，则 $\int_I f=\int_a^bdx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\,dy$ 成立。上述也可以写成关于 $y$ 的形式以及推广到多元形式。

我们知道一元函数的积分我们有变量替换公式，那么对于重积分我们是否也有类似结论呢？上述我们实际上知道容积是积分的一种特例，所以我们不妨先考虑容积的一类变量替换——仿射变换，即我们将变量进行仿射变换后前后容积有什么关系。首先我们知道平移不改变是否可求容积与容积的值，所以我们不妨考虑线性变换 $\varphi(x)=Px,P\in M_{n\times n}$，如果 $\det P=0$，则 $\varphi(\mathbb{R}^n)$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上的零测集，此时容积为零，故而假设 $\det P\neq 0$，由于可逆线性变换是 Lipschitz 映射，故把边界映射为边界，且把零测集映射为零测集，从而若 $S$ 为可求容积集，则 $\varphi(S)$ 为可求容积集。并且容易证明 $\nu(\varphi(S)=|\det P|\nu(S)$，易知这个结论对于 $\det P=0$ 也成立

如果 $\varphi(x)=P(x)+b$ 为可逆线性变换变换，$S$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上的可求容积集，且 $f$ 在 $\varphi(S)$ 中可积，又知道 $\varphi(x)$ 在 $S$ 上均连续 ，从而可知 $f\circ \varphi$ 在 $S$ 上间断点集为零测集，从而可积，取矩形 $I$ 使得 $S\subset I$，则 $\varphi(S)\subset \varphi(I)$，若规定 $\varphi(S)$ 之外 $f$ 为零，则 $S$ 之外 $f\circ \varphi$ 为零，则 $\int_{\varphi(S)}f=\int_{\varphi(I)}f,\int_S f\circ \varphi=\int_I f\circ\varphi$，下面我们证明：

$$\int_{\varphi(I)} f(y)\,dy = |\det P| \int_I f(Px)\,dx.$$

若得证，则有 $\int_{\varphi(S)} f(y)\,dy=|\det P|\int_Sf(Px)\,dx$ 成立，设 $\pi = \{I_k\}$ 为 $I$ 的分割，$f \circ \varphi$ 在 $I_k$ 中的下确界和上确界分别记为 $m_k$ 和 $M_k$，则

$$m_k \nu(\varphi(I_k)) \le \int_{\varphi(I_k)} f(y)\,dy \le M_k \nu(\varphi(I_k)).$$

根据 $\nu(\varphi(I_k))=|\det P|\nu(I_k)$ 再关于 $k$ 求和利用积分区间的可加性可得

$$|\det P| \sum_k m_k \nu(I_k) \le \int_{\varphi(I)} f(y)\,dy \le |\det P| \sum_k M_k \nu(I_k),$$

令分割的模趋于零即得证。

上述我们研究了仿射变换，下面我们研究更一般的映射，这里我们不加以证明直接给出结论：设 $\varphi: D \to \mathbb{R}^n$ 为 $C^1$ 单射，且 $J_\varphi$ 处处非退化，设 $S$ 可求容积， $\overline{S} \subset D$，$f$ 在 $\varphi(S)$ 中可积，则

$$\int_{\varphi(S)} f(y)\,dy = \int_S f \circ \varphi(x) |\det J_\varphi(x)|\,dx.$$

特别地，

$$\nu(\varphi(S)) = \int_S |\det J_\varphi(x)|\,dx.$$

为什么一元函数中的变量替换相较于多元函数要简单的多，这是因为我们在一元函数的变量替换中用到了微积分基本公式，但我们现在还没有多元函数的微积分基本公式，纯靠定义进行证明，，往后我们会同样在多元函数中运用微积分基本公式的思想。

对于这个结论，我们不妨先应用于二元函数上，也就是说对于积分 $\int_Af(x,y)$，我们可以令 $x=r\cos \theta,y=r\sin \theta$，那么极坐标变换 $\varphi(r,\theta)$ 将 $(r,\theta)$ 平面上的矩形 $S=[0,R]\times [0,2\pi]$ 变为 $(x,y)$ 平面上的圆 $\varphi(S)=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq R^2\}$，且 $\det J_\varphi=r$，尽管在 $r=0$ 处退化，但积分的变量替换公式仍然适用，因为此变换在开矩形中式一一的且非退化，于是我们有

$$\int_{\varphi(S)}f(x,y)\,dx\,dy=\int_S f\circ \varphi(r,\theta)\cdot r\,dr\,d\theta$$

也就是说利用极坐标变换我们可以将圆上的积分转化为矩形上的积分，我们还有下述更一般的球面坐标变换：

在一般的欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中也有类似的(广义)球面坐标变换:

$$\begin{cases} x_1 = r \cos\theta_1, \\ x_2 = r \sin\theta_1 \cos\theta_2, \\ x_3 = r \sin\theta_1 \sin\theta_2 \cos\theta_3, \\ \cdots\cdots \\ x_{n-1} = r \sin\theta_1 \sin\theta_2 \cdots \sin\theta_{n-2} \cos\theta_{n-1}, \\ x_n = r \sin\theta_1 \sin\theta_2 \cdots \sin\theta_{n-2} \sin\theta_{n-1}, \end{cases}$$

此变换将矩形

$$0 \le r \le R,\ 0 \le \theta_1, \dots, \theta_{n-2} \le \pi,\ 0 \le \theta_{n-1} \le 2\pi,$$

变为半径为 $R$ 的 $n$ 维(闭)球，并且此变换的 $Jacobi$ 行列式为：

$$\frac{\partial(x_1, x_2, \dots, x_n)}{\partial(r, \theta_1, \dots, \theta_{n-1})} = r^{n-1} \sin^{n-2}\theta_1 \sin^{n-3}\theta_2 \cdots \sin\theta_{n-2}.$$

重积分的推广

在前一章节，我们介绍了多重的黎曼积分，显然它和一元黎曼积分一样存在着局限性，比如积分区域要求是可求体积的，其次被积函数要求是有界的，故而我们同样需要对重积分进行推广。

下面我们先考虑积分区域的问题，设 $A\subset \mathbb{R}^n$，它不一定是有界的，但如果它的边界 $\partial A$ 是零测集，那么我们称这类集合为容许集，我们又知道若有界集合边界为零测集，那么它一定是可求体积的，所有对每一个 $k\geq 1$，我们有交集 $A\cap [-k,k]^n$ 是有界且可求体积的， 如果极限 $\lim_{k\to \infty}\nu(A\cap [-k,k]^n)$ 存在且有限，则称 $A$ 为广义可求体积的，该极限即为 $\nu(A)$。注意到前述的关于 $k$ 的数列是单调递增的，从而极限存在且有限等价于 $\nu(A\cap [-k,k]^n)$ 关于 $k$ 有界。事实上我们不一定要用矩形去取交集，可以换成半径为 $k$ 的球体，甚至可以是更一般的可求体积集合：设 $\{D_i\}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中一列可求体积的有界集合，满足 $\overline{D_i}\subset int \,D_{i+1}$，且有 $\bigcup_{i\geq 1} D_i=\mathbb{R}^n$，我们称这样的一组集合为穷竭。上述的矩形集合和球体集合均为穷竭，于是广义可求体积的定义就可推广到穷竭上，这里不加以赘述。

这样我们就可以定义无穷积分区域上的重积分，初步想法就是定义为 $\lim_{i\to \infty}\int_{A\cap D_i}f$，在一元函数积分的推广中，我们知道条件收敛的级数的重排会影响收敛结果，这说明上述的极限是与穷竭的选取有关的，如果我们希望它与穷竭的选取无关，必然要求上述函数积分是绝对收敛的，而为什么在一元函数中我们不做这样的要求呢，因为一元函数的穷竭实际上只有一种，例如区间 $[a,\infty]$ 就是从左往右一种形状的穷竭，即矩形，从而我们可以将它定义为一元函数在无穷区间上的积分，但是多元函数就不行，二维平面的穷竭有无数多个，从而我们必须加强定义的约束，于是我们定义无穷区域上的重积分，先要求它是绝对可积的，再按照上述定义进行，即 $|f|$ 也是广义可积的，这俩在重积分的推广中是等价的。对于瑕积分也是类似定义，都是要求是绝对可积，这里不加以赘述。这里补充一点，对于前面研究的有界多元函数在可求体积区间的黎曼积分，其天然有着可积则绝对可积的性质，从而重排无影响，有界一元函数在有界区间也是如此，只是在进行广义积分推广时要考虑重排，从而考虑是否绝对可积。